La fracción de un resto: qué queda después de cada paso
Muchos problemas reparten una cantidad en dos pasos y preguntan qué queda al final. El segundo paso no se calcula sobre el total, sino sobre lo que sobró.
Este artículo explica la fracción de un resto con cuatro situaciones encadenadas. Cada paso se desarrolla completo, con su tabla de control y su comprobación final.
Las situaciones ocurren en Chile, México, Colombia y Ecuador. El mismo método sirve en Costa Rica y en Perú para un presupuesto gastado en etapas.
Cómo calcular el resto después de cada paso
El resto es la parte que queda después de quitar una fracción del total. En un problema encadenado, ese resto pasa a ser la nueva unidad de trabajo.
La primera fracción actúa sobre el total y la segunda, sobre lo que sobró. El segundo porcentaje nunca se aplica al total original.
Si de una cantidad quedan ( frac{2}{3} ), ese ( frac{2}{3} ) es el todo del paso siguiente. La mitad de ese resto no es la mitad del total.
Para saber cuánto se retira del resto se multiplican las dos fracciones entre sí. La parte que se queda se obtiene con una resta.
El artículo sobre Problemas de Varios Pasos con Fracciones: Qué Queda y Cuánto Falta repasa esos pasos sueltos.
La tabla del paso y lo que queda
Un tren de carga viaja entre dos ciudades de Chile. En la primera parada descarga ( frac{1}{3} ) de la carga total.
En la segunda parada descarga ( frac{3}{5} ) del resto que quedaba. La pregunta es qué fracción de la carga original sigue en el tren.
| Paso | Acción | Fracción que queda | Cómo se obtiene |
|---|---|---|---|
| Inicio | La carga completa | ( 1 ) | El total se escribe como ( frac{1}{1} ) |
| Primera parada | Descarga ( frac{1}{3} ) del total | ( frac{2}{3} ) | ( 1 – frac{1}{3} = frac{2}{3} ) |
| Segunda parada | Descarga ( frac{3}{5} ) del resto | ( frac{4}{15} ) | ( frac{2}{3} – frac{3}{5} cdot frac{2}{3} = frac{4}{15} ) |
En la primera parada la carga baja al valor ( 1 – frac{1}{3} = frac{2}{3} ). Ese ( frac{2}{3} ) es el nuevo total del segundo paso.
De ese resto se retira ( frac{3}{5} ), así que se conserva ( frac{2}{5} ). El producto ( frac{2}{5} cdot frac{2}{3} ) da ( frac{4}{15} ).
La comprobación suma todas las partes de la carga. Los quintos de ( frac{2}{5} ) equivalen a ( frac{6}{15} ) y el tercio inicial, a ( frac{5}{15} ).
Entonces ( frac{5}{15} + frac{6}{15} + frac{4}{15} = frac{15}{15} ). No falta ni sobra carga en el tren, y el resultado queda comprobado.
Dos fases que reducen lo que queda
Un algoritmo de compresión reduce un archivo en dos fases. La primera fase elimina ( frac{3}{8} ) de los datos redundantes.
La segunda fase procesa ( frac{2}{5} ) del residuo restante. Se pregunta qué fracción del archivo original queda sin procesar.
Después de la primera fase queda ( frac{5}{8} ) del archivo. La segunda fase no actúa sobre el archivo completo, sino sobre ese ( frac{5}{8} ).
Lo procesado en la segunda fase es ( frac{2}{5} cdot frac{5}{8} = frac{1}{4} ). Lo que queda sin procesar es ( frac{5}{8} – frac{1}{4} = frac{3}{8} ).
El principio es el mismo del tren: primero el total y después el resto. El artículo sobre Fracciones Equivalentes: Cómo Amplificar y Simplificar ayuda con la resta final.
Cómo reconstruir el total desde la parte que sobra
A veces el problema da la parte que sobra y pide la cantidad total. En un proyecto de reforestación de una comunidad de Colombia se plantó en tres etapas.
La primera etapa cubrió ( frac{2}{5} ) del total y la segunda, ( frac{1}{4} ). La tercera etapa sembró los 420 árboles restantes.
Las dos primeras etapas suman ( frac{2}{5} + frac{1}{4} = frac{13}{20} ). Entonces los 420 árboles del final son ( frac{7}{20} ) del total.
| Etapa | Fracción del total | Árboles sembrados | Cómo se obtiene |
|---|---|---|---|
| Primera | ( frac{2}{5} ) | 480 | ( frac{2}{5} ) de ( 1,200 ) |
| Segunda | ( frac{1}{4} ) | 300 | ( frac{1}{4} ) de ( 1,200 ) |
| Tercera | ( frac{7}{20} ) | 420 | El resto que anuncia el enunciado |
| Total | ( 1 ) | 1 200 | ( 480 + 300 + 420 ) |
Con la fracción de la parte conocida se reconstruye el total. La operación es ( 420 div frac{7}{20} = 1,200 ) árboles.
La división equivale a multiplicar por la fracción invertida: ( 420 cdot frac{20}{7} ). El resultado se comprueba repartiendo el total entre las tres etapas.
La misma idea sirve para un presupuesto que se gasta en dos etapas. La parte que sobra es una fracción del total, y con esa fracción se halla el total.
El tiempo repartido en dos etapas
Mariana dedica ( 4frac{1}{2} ) horas al estudio un sábado. Emplea ( frac{2}{3} ) de ese tiempo en Ciencias.
Después usa ( frac{1}{4} ) del tiempo restante en preparar una presentación de Historia. Se pregunta qué fracción de una hora dedicó a esa presentación.
En Ciencias ocupa ( frac{2}{3} ) de ( frac{9}{2} ) horas, o sea ( 3 ) horas. El resto es ( frac{1}{3} ) de ( frac{9}{2} ), que son ( frac{3}{2} ) horas.
La presentación toma ( frac{1}{4} ) de ( frac{3}{2} ) horas. Ese producto es ( frac{3}{8} ) de hora, que equivale a ( 22,5 ) minutos.
La conversión de fracciones de hora a minutos se repasa en Medidas de Tiempo: Horas, Minutos, Segundos y Días.
Ejemplos de fracción de un resto resueltos paso a paso
Los dos ejemplos siguientes usan la misma idea de las secciones anteriores. Cada paso se calcula sobre lo que queda del paso anterior.
Ejemplo 1: los árboles de un proyecto comunitario
Situación: En Colombia, un proyecto comunitario plantó árboles en tres etapas: ( frac{2}{5} ), luego ( frac{1}{4} ) y al final 420. Se busca el total de árboles del proyecto.
Paso 1. Se escribe el total como ( 1 ) y se suman las fracciones de las dos primeras etapas.
Paso 2. Como ( frac{2}{5} + frac{1}{4} = frac{13}{20} ), falta ( frac{7}{20} ) del total.
Paso 3. Los 420 árboles conocidos equivalen a esos ( frac{7}{20} ) del proyecto.
Paso 4. Se divide la parte conocida entre su fracción para hallar el total.
Desarrollo completo:
[ 420 div frac{7}{20} = 420 cdot frac{20}{7} = 1,200 ]
Resultado: se plantaron ( 1,200 ) árboles durante todo el proyecto.
Comprobación: ( frac{2}{5} ) de ( 1,200 ) son 480 y ( frac{1}{4} ) son 300. La suma ( 480 + 300 + 420 ) da ( 1,200 ).
Ejemplo 2: el tiempo de estudio repartido en dos etapas
Situación: Mariana estudia ( 4frac{1}{2} ) horas un sábado. Dedica ( frac{2}{3} ) del tiempo a Ciencias y ( frac{1}{4} ) del resto a una presentación de Historia.
Paso 1. Se pasa el número mixto a fracción impropia: ( 4frac{1}{2} = frac{9}{2} ) horas.
Paso 2. El tiempo de Ciencias es ( frac{2}{3} ) del total.
Paso 3. El resto es la parte del tiempo que no se usó en Ciencias.
Paso 4. La presentación ocupa ( frac{1}{4} ) de ese resto.
Desarrollo completo:
[ frac{2}{3} cdot frac{9}{2} = 3 text{horas} ]
[ frac{9}{2} – 3 = frac{3}{2} text{horas} ]
[ frac{1}{4} cdot frac{3}{2} = frac{3}{8} text{de hora} ]
Resultado: Mariana dedicó ( frac{3}{8} ) de hora a la presentación, o sea ( 22,5 ) minutos.
Comprobación: La suma ( frac{2}{3} + frac{1}{12} ) da ( frac{3}{4} ) del tiempo. La presentación ocupa ( frac{1}{12} ) del total, y ( frac{1}{12} ) de ( frac{9}{2} ) horas es ( frac{3}{8} ) de hora.
Estrategias para el examen y errores frecuentes
- Leer el enunciado dos veces y marcar sobre qué cantidad actúa cada fracción.
- Escribir el paso y lo que queda en una tabla antes de empezar a calcular.
- No aplicar nunca el segundo porcentaje al total original del problema.
- Simplificar la fracción del resultado hasta que no tenga divisores comunes.
- Cuando se pide el total, dividir la parte conocida entre la fracción que representa.
- Comprobar el resultado con la suma de las partes: el total debe dar un entero.
Conclusión
La fracción de un resto exige fijar la atención en la cantidad que está en juego. El segundo paso siempre se calcula sobre lo que sobró del primero.
Cuando se conoce la parte que sobra, el total se reconstruye dividiendo esa parte entre su fracción. La comprobación final cierra el razonamiento.
Una tabla con dos columnas, paso y fracción que queda, evita la mayor parte de los errores. Con ella, cada paso se revisa antes de seguir al siguiente.
Referencias Bibliográficas
- Baldor, A. (s. f.). Aritmética. Obra citada por el banco de preguntas del tema.
- Larson, R. (s. f.). Matemáticas. Obra citada por el banco de preguntas del tema.
- Ministerio de Educación Nacional de Colombia. (2016). Derechos Básicos de Aprendizaje: Matemáticas (V. 2). https://www.colombiaaprende.edu.co/recurso-coleccion/derechos-basicos-de-aprendizaje-matematicas
- Ministerio de Educación Pública de Costa Rica. (2012). Programas de estudio de Matemáticas: Tercer ciclo de la Educación General Básica. https://www.mep.go.cr/sites/default/files/media/matematica.pdf
- MINEDUC. (2016). Programa de Estudio: Matemática, 8.º básico. Ministerio de Educación de Chile.
- MINEDUC Ecuador. (2016). Currículo de Educación General Básica Superior. https://siteal.iiep.unesco.org/sites/default/files/sit_accion_files/11031.pdf
- MINEDU Perú. (2016). Currículo Nacional de la Educación Básica. https://www.minedu.gob.pe/curriculo/pdf/curriculo-nacional-2016-2.pdf
- Rich, B. (s. f.). Álgebra elemental. Obra citada por el banco de preguntas del tema.
- Secretaría de Educación Pública de México. (2024). Programa Sintético de la Fase 6: Educación Secundaria. https://educacionbasica.sep.gob.mx/wp-content/uploads/2024/06/Programa_Sintetico_Fase_6.pdf
Sigue estudiando: La Fracción de una Cantidad: Cómo Calcular la Parte de un Total y Suma y Resta de Fracciones con Distinto Denominador: Guía Paso a Paso. En la misma serie: Fracción generatriz: cómo se escribe un decimal periódico como fracción, Fracciones y decimales en medidas y promedios: longitud, capacidad y tiempo y Multiplicar y dividir fracciones: dosis, porciones y mezclas.
