Fracciones con distinto denominador: hallar el común denominador, sumar, restar y comparar en un mismo cálculo
Un mismo enunciado puede pedir sumar, restar y comparar fracciones de denominadores distintos. El paso que ordena todo el cálculo es el común denominador.
Aquí aparecen el mínimo común múltiplo, la suma de tres fracciones y el resto del total. El cierre combina paréntesis y división en una sola expresión.
Por qué dos fracciones heterogéneas no se suman directamente
Dos fracciones heterogéneas tienen denominadores distintos. Sus partes no son del mismo tamaño y no se pueden juntar tal como están.
Sumar los numeradores y dejar el denominador mayor es el error más común. La regla completa está en la pieza sobre suma y resta de fracciones con distinto denominador.
Aquí el repaso ocupa una línea: se igualan los denominadores y después se opera. Lo propio de Octavo Año es el cálculo con varios operandos y varias operaciones.
El mínimo común múltiplo: la llave del común denominador
El común denominador más económico es el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para 4 y 5 el mcm es 20.
Para 6, 3 y 4 el mcm es 12, porque 12 es el menor número divisible por los tres. Cada fracción se amplifica por el factor que le falta.
El artículo sobre fracciones equivalentes explica por qué el valor de la fracción no cambia.
| Fracción original | Factor que falta | Operación | Fracción equivalente |
|---|---|---|---|
| ( frac{1}{4} ) | 5 | ( 1 cdot 5 ) y ( 4 cdot 5 ) | ( frac{5}{20} ) |
| ( frac{2}{5} ) | 4 | ( 2 cdot 4 ) y ( 5 cdot 4 ) | ( frac{8}{20} ) |
| ( frac{1}{6} ) | 2 | ( 1 cdot 2 ) y ( 6 cdot 2 ) | ( frac{2}{12} ) |
| ( frac{1}{3} ) | 4 | ( 1 cdot 4 ) y ( 3 cdot 4 ) | ( frac{4}{12} ) |
| ( frac{1}{4} ) | 3 | ( 1 cdot 3 ) y ( 4 cdot 3 ) | ( frac{3}{12} ) |
La tabla muestra ese primer paso con las fracciones de los dos cálculos siguientes. Cuando los denominadores ya coinciden, solo queda operar con los numeradores.
Con denominadores grandes conviene descomponer cada uno en factores primos. Así se obtiene el mcm sin repetir factores comunes.
Sumar varias fracciones con denominadores distintos
Tres amigos de Bogotá reúnen dinero para un regalo. Andrés aporta ( frac{1}{6} ) del total de pesos colombianos, Beatriz ( frac{1}{3} ) y Camilo ( frac{1}{4} ).
El mcm de 6, 3 y 4 es 12. Cada fracción se convierte en doceavos antes de sumar.
[ frac{1}{6} + frac{1}{3} + frac{1}{4} = frac{2}{12} + frac{4}{12} + frac{3}{12} = frac{9}{12} = frac{3}{4} ]
El resultado ( frac{9}{12} ) se simplifica dividiendo entre 3 el numerador y el denominador. Entre los tres aportaron ( frac{3}{4} ) del total.
La suma también sirve para acumular recorridos. Un autobús interurbano recorre ( frac{2}{7} ) de una ruta por la mañana y ( frac{3}{5} ) por la tarde.
El mcm de 7 y 5 es 35, así que las dos fracciones pasan a treintaicincoavos:
[ frac{2}{7} + frac{3}{5} = frac{10}{35} + frac{21}{35} = frac{31}{35} ]
Ese día el autobús completó ( frac{31}{35} ) del recorrido total.
Restar fracciones y calcular el resto del total
A veces el dato es la parte gastada y la pregunta es lo que queda. Un taller de Santiago destina ( frac{7}{10} ) del presupuesto en pesos chilenos a herramientas.
El resto es la unidad completa menos lo gastado. La unidad se escribe como una fracción con el mismo denominador.
[ 1 – frac{7}{10} = frac{10}{10} – frac{7}{10} = frac{3}{10} ]
El taller destinó ( frac{3}{10} ) del presupuesto a pintura.
La resta entre fracciones sigue el mismo camino. Un tanque de agua de lluvia está a ( frac{5}{6} ) de su capacidad y se usan ( frac{3}{8} ) para regar un huerto.
El mcm de 6 y 8 es 24. La resta queda así:
[ frac{5}{6} – frac{3}{8} = frac{20}{24} – frac{9}{24} = frac{11}{24} ]
Quedan ( frac{11}{24} ) de la capacidad del tanque con agua. Aquí el resultado no se simplifica, porque 11 y 24 no comparten factores.
Comparar y ordenar una serie de fracciones heterogéneas
Comparar es otra forma de usar el común denominador. En un servidor escolar se descargan tres archivos de ( frac{3}{5} ) GB, ( frac{2}{3} ) GB y ( frac{7}{10} ) GB.
El mcm de 5, 3 y 10 es 30, un denominador que sirve para las tres. Con las tres fracciones en treintavos, el orden lo decide el numerador.
| Tamaño original | Fracción en treintavos | Comparación |
|---|---|---|
| ( frac{3}{5} ) GB | ( frac{18}{30} ) | El menor de los tres |
| ( frac{2}{3} ) GB | ( frac{20}{30} ) | El del medio |
| ( frac{7}{10} ) GB | ( frac{21}{30} ) | El mayor de los tres |
[ frac{3}{5} < frac{2}{3} < frac{7}{10} ]
Con las tres fracciones en treintavos basta comparar 18, 20 y 21. El archivo menor es el de ( frac{3}{5} ) GB y el mayor, el de ( frac{7}{10} ) GB.
La regla general está en la pieza sobre comparar y ordenar fracciones.
La diferencia entre dos fracciones: cuánto más y cuánto falta
La diferencia responde a la pregunta «cuánto más». Sofía lee ( frac{4}{9} ) de una novela histórica y Diego lee ( frac{5}{12} ) de la misma obra.
El mcm de 9 y 12 es 36. La resta compara las dos cantidades en treintaiseisavos:
[ frac{4}{9} – frac{5}{12} = frac{16}{36} – frac{15}{36} = frac{1}{36} ]
Sofía leyó ( frac{1}{36} ) más de la novela que Diego. La diferencia es pequeña, pero el resultado es exacto.
Cuando la fracción obtenida es menor que la unidad, todavía falta una parte del total. Al recorrido del autobús le faltaron ( frac{4}{35} ) para completar la ruta.
Ejemplos de cálculo con común denominador resueltos paso a paso
Los dos ejemplos siguientes usan denominadores distintos y más de una operación. El primero reúne dos fracciones y el segundo encadena suma, resta y división.
En cada caso se desarrolla el procedimiento completo antes del resultado.
Ejemplo 1: las compras de don Carlos
Situación: En un supermercado de San José, don Carlos gasta ( frac{1}{4} ) de sus colones en verduras y ( frac{2}{5} ) en abarrotes.
Se busca: la fracción del total de colones que gastó en las dos compras.
Paso 1. Se calcula el mcm de 4 y 5, que es 20.
Paso 2. Se amplifica ( frac{1}{4} ) por 5 y ( frac{2}{5} ) por 4.
Paso 3. Se suman los numeradores y se conserva el denominador 20.
Desarrollo completo:
[ frac{1}{4} + frac{2}{5} = frac{5}{20} + frac{8}{20} = frac{13}{20} ]
Resultado: don Carlos gastó ( frac{13}{20} ) del total de colones.
Comprobación: ( frac{13}{20} ) equivale a ( 0{,}65 ), y ( 0{,}25 + 0{,}40 = 0{,}65 ).
Ejemplo 2: el coeficiente de rendimiento de una máquina
Situación: Una máquina procesadora calcula su coeficiente con una expresión combinada de dos paréntesis.
[ left( frac{3}{4} – frac{1}{6} right) div left( frac{2}{3} + frac{1}{2} right) ]
Paso 1. Se resuelve primero cada paréntesis, porque la división espera el resultado.
Paso 2. En el primer paréntesis, el mcm de 4 y 6 es 12.
Paso 3. En el segundo paréntesis, el mcm de 3 y 2 es 6.
Paso 4. Se divide la primera fracción entre la segunda, multiplicando en cruz.
Desarrollo completo:
[ frac{3}{4} – frac{1}{6} = frac{9}{12} – frac{2}{12} = frac{7}{12} ]
[ frac{2}{3} + frac{1}{2} = frac{4}{6} + frac{3}{6} = frac{7}{6} ]
[ frac{7}{12} div frac{7}{6} = frac{7 cdot 6}{12 cdot 7} = frac{42}{84} = frac{1}{2} ]
Resultado: el coeficiente de rendimiento simplificado es ( frac{1}{2} ).
Comprobación: ( frac{7}{12} ) es aproximadamente ( 0{,}58 ) y ( frac{7}{6} ), ( 1{,}17 ). El cociente se acerca a ( 0{,}5 ).
Estrategias para el examen y errores frecuentes
- Revisar si los denominadores son distintos antes de sumar o de restar.
- Buscar el mcm y escribir cada fracción equivalente en el mismo renglón.
- Resolver primero los paréntesis, como se explica en la pieza sobre operaciones combinadas.
- Dividir una fracción entre otra multiplicando por la fracción invertida.
- Simplificar el resultado final hasta que no quede ningún factor común.
- Comprobar con una estimación decimal si el resultado es razonable.
Conclusión
El común denominador convierte fracciones de distinto tamaño en partes comparables. El mínimo común múltiplo de los denominadores da el denominador más pequeño posible.
Con los denominadores igualados, sumar y restar se reducen a operar con los numeradores. Comparar y ordenar usan exactamente el mismo camino.
El cálculo combinado añade la jerarquía: primero los paréntesis y después la división. Comprobar el resultado con una estimación decimal confirma el trabajo.
Referencias Bibliográficas
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- MINEDU Perú. (2016). Currículo Nacional de la Educación Básica. https://www.minedu.gob.pe/curriculo/pdf/curriculo-nacional-2016-2.pdf
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- Rich, B. (s. f.). Álgebra elemental. Obra citada por el banco de preguntas del tema.
- Secretaría de Educación Pública de México. (2024). Programa Sintético de la Fase 6: Educación Secundaria. https://educacionbasica.sep.gob.mx/wp-content/uploads/2024/06/Programa_Sintetico_Fase_6.pdf
- Weisstein, E. W. (s. f.). Least Common Multiple. MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html
Sigue estudiando: Cómo Descomponer un Número Compuesto en sus Factores Primos y Problemas de Varios Pasos con Fracciones: Qué Queda y Cuánto Falta. En la misma serie: El desarrollo decimal: de fracción y porcentaje a decimal, y cómo se clasifica, La fracción de un resto: qué queda después de cada paso y Fracción generatriz: cómo se escribe un decimal periódico como fracción.
