Área de figuras planas: rombo, polígono regular, círculo y figuras compuestas
El área de figuras planas se calcula con una fórmula propia de cada figura. Reconocer la figura es el primer paso.
Esta pieza trabaja el rombo, el polígono regular con apotema, el círculo y las figuras compuestas del banco.
Las fórmulas de área que evalúa esta pieza
Toda área se expresa en unidades cuadradas, como ( text{cm}^{2} ) o ( text{m}^{2} ). La tabla reúne las fórmulas que aparecen en las preguntas del tema.
El cuadrado y el rectángulo ya se estudiaron en otra pieza y aquí solo se repasan. Los otros cinco casos son el centro.
El artículo sobre área y superficie explica por qué las unidades de área crecen de cien en cien.
| Figura | Fórmula del área | Datos que pide |
|---|---|---|
| Cuadrado (repaso) | ( A = l^{2} ) | la medida del lado |
| Rectángulo (repaso) | ( A = b cdot h ) | la base y la altura |
| Triángulo | ( A = frac{b cdot h}{2} ) | la base y la altura |
| Rombo | ( A = frac{D cdot d}{2} ) | las dos diagonales |
| Polígono regular | ( A = frac{P cdot a_p}{2} ) | el perímetro y la apotema |
| Círculo | ( A = pi r^{2} ) | el radio y ( pi approx 3,14 ) |
| Trapecio | ( A = frac{(B + b) cdot h}{2} ) | las dos bases y la altura |
Casi todas las áreas son un producto dividido entre dos; el círculo usa el radio al cuadrado.
El rombo: el producto de sus diagonales
El rombo tiene cuatro lados iguales y dos diagonales que se cortan en ángulo recto. Esa cruz interior es la que se multiplica.
Un terreno con forma de rombo tiene diagonales de ( 14 text{m} ) y ( 10 text{m} ). La fórmula pide multiplicarlas y dividir el resultado entre dos.
[ A = frac{D cdot d}{2} = frac{14 cdot 10}{2} = 70 text{m}^{2} ]
El terreno mide ( 70 text{m}^{2} ), que es la opción correcta del banco. Un error frecuente es multiplicar las diagonales y olvidar la división entre dos.
El triángulo y el polígono regular por descomposición
El triángulo se calcula con la base por la altura, y todo dividido entre dos. Un jardín triangular con base de ( 6 text{m} ) y altura de ( 4 text{m} ) tiene este tamaño:
[ A = frac{b cdot h}{2} = frac{6 cdot 4}{2} = 12 text{m}^{2} ]
Cubrir ese jardín con césped en Medellín cuesta ( 35,000 ) pesos colombianos por metro cuadrado. La instalación completa vale ( 12 cdot 35,000 = 420,000 ) pesos colombianos.
Un polígono regular se descompone en triángulos iguales que salen del centro. La altura de cada triángulo es la apotema, así que el conjunto equivale a perímetro por apotema entre dos.
Una fábrica de baldosas hace hexágonos de lado ( 6 text{cm} ) y apotema de ( 5,2 text{cm} ). El perímetro suma los seis lados iguales.
[ P = 6 cdot 6 = 36 text{cm} ]
[ A = frac{P cdot a_p}{2} = frac{36 cdot 5,2}{2} = 93,6 text{cm}^{2} ]
Cada baldosa mide ( 93,6 text{cm}^{2} ). La apotema va del centro al punto medio de un lado.
El artículo sobre polígonos regulares repasa los elementos que forman estas figuras cerradas.
El área del círculo con π ≈ 3,14
El área del círculo depende del radio elevado al cuadrado y del número pi. Con ( pi approx 3,14 ) el cálculo queda en dos pasos cortos.
En un taller de Puebla se corta una lámina circular de radio ( 10 text{cm} ). El radio se eleva al cuadrado.
[ A = pi r^{2} approx 3,14 cdot 10^{2} = 314 text{cm}^{2} ]
El material cuesta ( 0,50 ) pesos mexicanos por centímetro cuadrado. La lámina completa vale ( 314 cdot 0,50 = 157 ) pesos mexicanos.
Si el radio se duplica, el área se multiplica por cuatro, porque el radio va elevado al cuadrado.
El artículo sobre la circunferencia y sus elementos distingue el radio del diámetro y de la cuerda.
Figuras compuestas: restar la parte que no queda cubierta
Una figura compuesta se forma al unir figuras simples o al quitar una figura de otra. El área se obtiene sumando las partes o restando el hueco.
La sala mide ( 12 text{m} ) de largo por ( 8 text{m} ) de ancho. En el centro lleva una alfombra circular de radio ( 2 text{m} ).
[ A = (12 cdot 8) – (3,14 cdot 2^{2}) = 96 – 12,56 = 83,44 text{m}^{2} ]
Quedan ( 83,44 text{m}^{2} ) sin cubrir. La alfombra ocupa ( 12,56 text{m}^{2} ) y ese valor se descuenta del rectángulo completo.
Una pared en forma de trapecio tiene bases de ( 8 text{m} ) y ( 4 text{m} ), y una altura de ( 3 text{m} ). Lleva una ventana cuadrada de ( 1,5 text{m} ) de lado.
[ A = frac{(8 + 4) cdot 3}{2} – 1,5^{2} = 18 – 2,25 = 15,75 text{m}^{2} ]
El área neta de la pared es ( 15,75 text{m}^{2} ). La ventana se resta porque en ese hueco no se coloca material de construcción.
Costo por metro cuadrado: convertir el área antes de multiplicar
Casi todas las tarifas de construcción se cobran por metro cuadrado. Cuando el área viene en centímetros cuadrados, hay que convertirla antes de multiplicar.
Una máquina estampadora fabrica placas de ( 20 text{cm} ) por ( 30 text{cm} ) y produce ( 500 ) placas en un turno. Cada placa mide ( 600 text{cm}^{2} ).
[ 600 cdot 500 = 300,000 text{cm}^{2} = 30 text{m}^{2} ]
La superficie total producida es ( 30 text{m}^{2} ). La conversión se apoya en que ( 1 text{m}^{2} = 10,000 text{cm}^{2} ).
La bodega de Rancagua tiene el piso cuadrado, con ( 8 text{m} ) de lado. Pintarlo cuesta ( 4,500 ) pesos chilenos por metro cuadrado.
[ A = 8 cdot 8 = 64 text{m}^{2} ]
[ 64 cdot 4,500 = 288,000 ]
El trabajo completo cuesta ( 288,000 ) pesos chilenos.
| Situación | Área calculada | Tarifa | Costo total |
|---|---|---|---|
| Jardín triangular de ( 6 text{m} ) por ( 4 text{m} ) | ( 12 text{m}^{2} ) | ( 35,000 ) pesos colombianos por ( text{m}^{2} ) | ( 420,000 ) pesos colombianos |
| Piso cuadrado de ( 8 text{m} ) de lado | ( 64 text{m}^{2} ) | ( 4,500 ) pesos chilenos por ( text{m}^{2} ) | ( 288,000 ) pesos chilenos |
| Paneles de vidrio de ( 45,000 text{cm}^{2} ) | ( 4,5 text{m}^{2} ) | ( 12 ) dólares por ( text{m}^{2} ) | ( 54 ) dólares |
| Lámina circular de radio ( 10 text{cm} ) | ( 314 text{cm}^{2} ) | ( 0,50 ) pesos mexicanos por ( text{cm}^{2} ) | ( 157 ) pesos mexicanos |
La tabla muestra dos caminos: multiplicar directo o convertir antes de multiplicar.
Ejemplos resueltos paso a paso
Los dos ejemplos siguientes combinan las fórmulas anteriores. Cada paso queda escrito antes del resultado final.
Ejemplo 1: el piso de la sala que queda sin cubrir
Situación: una sala rectangular mide ( 12 text{m} ) de largo y ( 8 text{m} ) de ancho. En el centro hay una alfombra circular de radio ( 2 text{m} ) y se quiere saber cuánta superficie queda libre.
Paso 1. Se calcula el área del rectángulo completo.
[ 12 cdot 8 = 96 text{m}^{2} ]
Paso 2. Se calcula el área de la alfombra circular con ( pi approx 3,14 ).
[ 3,14 cdot 2^{2} = 12,56 text{m}^{2} ]
Paso 3. Se resta la alfombra del rectángulo.
[ 96 – 12,56 = 83,44 ]
Resultado: quedan ( 83,44 text{m}^{2} ) del piso sin cubrir.
Comprobación: el área libre más el área de la alfombra vuelve a dar el rectángulo, porque ( 83,44 + 12,56 = 96 ).
Ejemplo 2: el costo de forrar los paneles de vidrio
Situación: un taller de diseño en Quito cubre ( 45,000 text{cm}^{2} ) de paneles con láminas de protección solar. La instalación cuesta ( 12 ) dólares por metro cuadrado.
Paso 1. Se convierte el área a metros cuadrados, sabiendo que ( 1 text{m}^{2} = 10,000 text{cm}^{2} ).
[ 45,000 div 10,000 = 4,5 text{m}^{2} ]
Paso 2. Se multiplica el área convertida por la tarifa de cada metro cuadrado.
[ 4,5 cdot 12 = 54 ]
Resultado: la instalación cuesta ( 54 ) dólares.
Comprobación: cada metro cuadrado cuesta ( 12 ) dólares y se cubren ( 4,5 text{m}^{2} ); la multiplicación confirma el monto.
Estrategias para el examen y errores frecuentes
- Identificar la figura antes de escribir cualquier número.
- Anotar los datos con su unidad y convertir el área a la unidad de la tarifa.
- En el rombo, dividir entre dos el producto de las dos diagonales.
- En el polígono regular, multiplicar primero el perímetro por la apotema.
- Usar ( pi approx 3,14 ) salvo que el enunciado indique otro valor de pi.
- En las figuras compuestas, decidir si la parte central se suma o se resta.
- Revisar si el resultado se pide en ( text{m}^{2} ) o en ( text{cm}^{2} ).
Conclusión
El rombo usa sus diagonales y el polígono regular usa el perímetro con la apotema. Cada figura tiene su fórmula.
El círculo combina el radio al cuadrado con ( pi approx 3,14 ). En las figuras compuestas se suman o se restan las áreas de las partes simples.
Cuando el problema pide un costo, el área se calcula primero y la tarifa se aplica después. Si el área viene en centímetros cuadrados, la conversión a metros cuadrados no se puede saltar.
Referencias Bibliográficas
- Baldor, A. (s. f.). Geometría y Trigonometría. Obra citada por el banco de preguntas del tema.
- Clemens, S. R., O’Daffer, P. G., & Cooney, T. J. (s. f.). Geometría. Obra citada por el banco de preguntas del tema.
- Larson, R. (s. f.). Matemáticas. Obra citada por el banco de preguntas del tema.
- Ministerio de Educación Nacional de Colombia. (2016). Derechos Básicos de Aprendizaje: Matemáticas (V. 2). https://www.colombiaaprende.edu.co/recurso-coleccion/derechos-basicos-de-aprendizaje-matematicas
- Ministerio de Educación Pública de Costa Rica. (2012). Programas de estudio de Matemáticas: Tercer ciclo de la Educación General Básica. https://www.mep.go.cr/sites/default/files/media/matematica.pdf
- MINEDUC. (2016). Programa de Estudio: Matemática, 8.º básico. Ministerio de Educación de Chile.
- MINEDUC Ecuador. (2016). Currículo de Educación General Básica Superior. https://siteal.iiep.unesco.org/sites/default/files/sit_accion_files/11031.pdf
- MINEDU Perú. (2016). Currículo Nacional de la Educación Básica. https://www.minedu.gob.pe/curriculo/pdf/curriculo-nacional-2016-2.pdf
- Secretaría de Educación Pública de México. (2024). Programa Sintético de la Fase 6: Educación Secundaria. https://educacionbasica.sep.gob.mx/wp-content/uploads/2024/06/Programa_Sintetico_Fase_6.pdf
Sigue estudiando: Medidas en las Compras: Precio por Kilogramo, por Metro Cuadrado y por Litro y Volumen y Capacidad: Litros, Mililitros y Metros Cúbicos. En la misma serie: Duración y horarios: cómo se suman las horas, los minutos y los segundos, Equivalencias métricas: cómo comparar, ordenar y repartir cantidades y Factor de conversión: cómo cambiar de unidad una medida.
