Modelar situaciones reales con expresiones algebraicas: tablas, fórmulas y sucesiones
Modelar situaciones reales consiste en escribir con letras lo que ocurre en una compra o en un viaje. La expresión que resulta resume el caso completo en una sola línea.
Este artículo enseña a pasar del enunciado a la expresión. También muestra cómo leer la regla de una tabla y cómo reconocer el patrón de una sucesión.
Qué significa modelar una situación con una expresión algebraica
Una expresión algebraica combina números, letras y operaciones. Cada letra representa una cantidad que puede cambiar de un caso a otro.
Modelar es elegir esas letras, escribir la operación correcta y revisar que la expresión reproduzca el enunciado.
El temario oficial de Chile pide «modelar situaciones de la vida diaria» en Octavo Básico. Modelar no es resolver todavía: primero se escribe el modelo y después se calcula.
Cómo traducir un enunciado a una expresión algebraica
Traducir consiste en leer el enunciado y anotar cada dato con su letra. El precio unitario se multiplica por la cantidad comprada.
En una feria de Alajuela una piña cuesta 800 colones y un kilogramo de fresas cuesta 1500. Se compran ( x ) piñas y ( y ) kilogramos de fresas.
El costo total se escribe ( 800x + 1500y ), donde cada término es el gasto de un producto. La suma reúne los dos gastos de la compra.
El cambio recibido se escribe al revés, porque el billete es fijo. En un mercado de Lima una bolsa de quinua cuesta 12 soles y una de kiwicha 8 soles.
Se pagan ( a ) bolsas de quinua y ( b ) bolsas de kiwicha con 100 soles. El cambio recibido es ( 100 – 12a – 8b ).
El artículo sobre Del Enunciado a la Expresión Algebraica: Traducir al Lenguaje Algebraico repasa esa traducción paso a paso.
Cómo leer la regla escondida en una tabla de valores y fórmula
Una tabla de valores y fórmula son dos formas de la misma regla. La tabla muestra casos sueltos y la fórmula generaliza el comportamiento.
En Cali, una cooperativa de transporte cobra el flete según los kilómetros del viaje. La tabla registra el costo de los primeros cuatro kilómetros.
| Distancia ( x ) en kilómetros | Costo en pesos colombianos | Aumento respecto a la fila anterior |
|---|---|---|
| 1 | 12 000 | Sin fila anterior para comparar |
| 2 | 17 000 | 5 000 |
| 3 | 22 000 | 5 000 |
| 4 | 27 000 | 5 000 |
Al comparar las filas aparece un aumento constante de 5000 pesos por kilómetro. Ese aumento fijo es la pista que revela la regla.
Un aumento constante significa que cada kilómetro agrega el mismo costo. Por eso la fórmula lleva la distancia multiplicada por 5000.
Falta el cargo inicial, que se obtiene restando. Si el primer kilómetro cuesta 12 000, entonces ( 12,000 – 5000 = 7000 ).
La fórmula del flete es ( 5000x + 7000 ), con ( x ) en kilómetros. Si se sustituye ( x = 4 ) se recupera el valor 27 000 de la última fila.
Los patrones de una sucesión y su regla de formación
Una sucesión es una lista ordenada de números y la posición de cada uno se cuenta con la letra ( n ).
En una terminal de autobuses el registro de pasajeros de los primeros turnos fue ( 6, 11, 16, 21, 26 ). Cada término supera al anterior en 5.
La diferencia entre términos consecutivos se llama razón. Cuando esa diferencia nunca cambia, la sucesión es aritmética.
Otra medición revisó el pulso de un atleta durante cuatro minutos de esfuerzo. La tabla muestra cómo sube la frecuencia cardíaca.
| Tiempo ( t ) en minutos | Pulsaciones ( R ) | Aumento por minuto |
|---|---|---|
| 1 | 75 | Sin minuto anterior para comparar |
| 2 | 83 | 8 |
| 3 | 91 | 8 |
| 4 | 99 | 8 |
El pulso aumenta 8 pulsaciones por cada minuto de esfuerzo. Con ese dato se construye el modelo de la frecuencia esperada.
Las dos situaciones siguen la misma idea: buscar la diferencia constante y usarla como multiplicador del paso.
El artículo sobre Patrones Numéricos: Cómo Encontrar la Regla de una Secuencia muestra más ejemplos de esa búsqueda.
El término general de una sucesión aritmética
El término general de una sucesión aritmética permite calcular cualquier posición sin recorrer la lista completa. Se escribe ( a_n ) y se lee «término enésimo».
En la lista ( 6, 11, 16, 21, 26 ) la razón es 5 y el primer término es 6. El término general es ( a_n = 5n + 1 ).
La comprobación es directa: con ( n = 1 ) resulta 6 y con ( n = 4 ) resulta 21.
Cuando la razón es negativa la sucesión baja. La potencia de una señal de red disminuye piso por piso según la regla ( a_n = 50 – 4n ).
Con ( n = 1 ) la señal vale 46 unidades y con ( n = 5 ) vale 30. Cada piso quita 4 unidades de intensidad.
El programa de Matemática de Perú nombra esa tarea al hablar de «la regla de formación de progresiones aritméticas».
Cómo usar el modelo para calcular un valor concreto
Usar el modelo es sustituir una letra por un número y calcular. El resultado responde la pregunta del enunciado.
Un microprocesador asigna bloques de memoria con la sucesión ( 8, 14, 20, 26, 32 ). La razón es 6 y el término general es ( a_n = 6n + 2 ).
Para el ciclo ( n = 15 ) el cálculo es ( 6 times 15 + 2 = 92 ). Se usarán 92 megabytes de memoria en ese ciclo.
En un experimento escolar de física se contaron las gotas que caen de un gotero. A los 2 segundos había 13 gotas y a los 8 segundos había 43.
La regla es ( g = 5s + 3 ): cinco gotas por segundo más tres gotas iniciales. Con ( s = 8 ) se obtienen las 43 gotas del registro.
El artículo sobre Variables en Fórmulas de Uso Diario: Perímetro, Tarifas y Presupuestos trabaja esa lectura de fórmulas.
A veces la pregunta va al revés y entrega el resultado final. Con la señal del edificio se busca el piso donde la intensidad vale 14 unidades.
La igualdad que resulta es ( 50 – 4n = 14 ), así que ( 4n = 36 ) y ( n = 9 ). En el noveno piso la señal se reduce a 14 unidades.
Ejemplos de modelado resueltos paso a paso
Los dos ejemplos siguientes salen de situaciones del banco de preguntas del tema. En cada uno se escribe el modelo y se calcula un valor.
Ejemplo 1: el costo de una compra en la feria
Situación: En una feria de Alajuela una piña cuesta 800 colones y un kilogramo de fresas cuesta 1500 colones. Se compran 3 piñas y 2 kilogramos de fresas.
Paso 1. Se eligen las letras: ( x ) para las piñas y ( y ) para los kilogramos de fresas.
Paso 2. Se escribe el modelo con los dos precios: ( 800x + 1500y ).
Paso 3. Se sustituyen ( x = 3 ) y ( y = 2 ) en el modelo.
Desarrollo completo:
[ 800 times 3 = 2,400 ]
[ 1500 times 2 = 3,000 ]
[ 2,400 + 3,000 = 5,400 ]
Resultado: la compra cuesta ( 5,400 ) colones.
Ejemplo 2: el flete según la distancia
Situación: La cooperativa de transporte de Cali cobra 12 000 pesos por un kilómetro y 27 000 pesos por cuatro. Se busca el costo de un viaje de 6 kilómetros.
Paso 1. Se restan dos costos consecutivos y se obtiene la diferencia constante de 5000.
Paso 2. Se calcula el cargo inicial restando: ( 12,000 – 5000 = 7000 ).
Paso 3. Se sustituye ( x = 6 ) en el modelo ( 5000x + 7000 ).
Desarrollo completo:
[ 12,000 – 5000 = 7,000 ]
[ 5000 times 6 = 30,000 ]
[ 30,000 + 7000 = 37,000 ]
Resultado: el viaje de 6 kilómetros cuesta ( 37,000 ) pesos colombianos.
Estrategias para el examen y errores frecuentes
- Leer el enunciado dos veces y subrayar los datos numéricos antes de escribir cualquier letra.
- Anotar junto a cada letra qué representa, porque esa nota evita confundir dos cantidades parecidas.
- Buscar la diferencia constante entre términos consecutivos cuando el enunciado traiga una lista de números.
- Comprobar la fórmula con el primer dato conocido, que suele ser el más fácil de calcular.
- Responder con la unidad que pide la pregunta y revisar que el resultado tenga sentido.
Conclusión
Modelar situaciones reales con expresiones algebraicas exige tres pasos: elegir las letras, escribir la operación y comprobar el resultado. La tabla de valores y fórmula son dos vistas del mismo modelo.
En una sucesión aritmética la diferencia constante se convierte en el multiplicador del término general. Antes de entregar el ejercicio conviene sustituir un dato conocido en la fórmula.
Referencias Bibliográficas
- Baldor, A. (s. f.). Álgebra. Obra citada por el banco de preguntas del tema, en el contexto de la feria de Alajuela.
- Larson, R. (s. f.). Matemáticas. Obra citada por el banco de preguntas del tema, en los contextos del flete, el pulso del atleta y las sucesiones.
- Ministerio de Educación de Chile. (s. f.). Temario de exámenes libres: Octavo Básico (Matemática, eje Patrones y Álgebra). Ayuda Mineduc. https://ayudamineduc.cl/sites/default/files/temario_basica_8deg_basico_uce.pdf
- Ministerio de Educación del Ecuador. (2019). Currículo de los Niveles de Educación Obligatoria: área de Matemática. https://siteal.iiep.unesco.org/sites/default/files/sit_accion_files/11031.pdf
- Ministerio de Educación del Perú. (2016). Programa Curricular de Educación Secundaria (Resolución Ministerial 649-2016). Referencia sin URL: no se pudo verificar la dirección electrónica del documento.
- Ministerio de Educación Pública de Costa Rica, Dirección de Desarrollo Curricular. (2018). Descriptores para las instituciones IPEC y CINDEA de la educación de personas jóvenes y adultas. https://ddc.mep.go.cr/depja/programasdeestudio/cindea/pdfs/II_nivel_completos_2025.pdf
- OpenStax. (s. f.). Intermediate Algebra 2e (sección 12.2, Arithmetic Sequences). https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/12-2-arithmetic-sequences
- Secretaría de Educación Pública de México. (2024). Programa de Estudio para la Educación Secundaria: Programa Sintético de la Fase 6. https://educacionbasica.sep.gob.mx/wp-content/uploads/2024/06/Programa_Sintetico_Fase_6.pdf
- Weisstein, E. W. (s. f.). Arithmetic Progression. MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/ArithmeticProgression.html
Sigue estudiando: Ecuaciones de Primer Grado: Qué Significa Resolver una Ecuación y Coeficiente, Grado y Monomios: Leer una Expresión Algebraica. En la misma serie: Monomios y valor numérico: coeficiente, grado y parte literal, Multiplicación de polinomios: monomio por polinomio y binomio por binomio y Plantear ecuaciones lineales: cómo resolverlas desde una situación.
