Multiplicación de polinomios: monomio por polinomio y binomio por binomio
La multiplicación de polinomios combina dos expresiones en una sola mediante la propiedad distributiva. El resultado se ordena por el grado y se reducen los términos semejantes.
Este artículo explica el producto de un monomio por un polinomio y el de un binomio por otro binomio. Cada paso se desarrolla completo, con situaciones de la vida diaria.
Cómo se multiplica un monomio por un polinomio
Multiplicar un monomio por un polinomio significa repartir ese monomio entre cada uno de los términos. El monomio multiplica a todo el polinomio y no solo al primero.
La propiedad distributiva garantiza que el producto se obtenga término a término. Después se reducen los términos semejantes, si aparecen.
El artículo sobre coeficiente, grado y monomios recuerda cuáles son las partes de cada término.
En un laboratorio médico se calcula la concentración de un suero. El factor ( 3a^{2}b ) multiplica a toda la solución ( 4a^{3} – 2ab + 5b^{2} ).
El desarrollo completo es el siguiente:
[ 3a^{2}b cdot (4a^{3} – 2ab + 5b^{2}) = 12a^{5}b – 6a^{3}b^{2} + 15a^{2}b^{3} ]
El resultado tiene tres términos y queda ordenado de mayor a menor grado. Ninguno se reduce con otro, porque las partes literales son distintas.
Las leyes de los exponentes al multiplicar factores
Al multiplicar potencias de la misma base, los exponentes se suman y la base permanece igual. Esa ley permite multiplicar las letras de un monomio.
Un caso numérico ayuda a ver por qué funciona: ( 2^{2} cdot 2^{3} = 4 cdot 8 = 32 ), y además ( 2^{5} = 32 ).
Con letras ocurre lo mismo: ( x^{2} cdot x^{3} = x^{2+3} = x^{5} ). El artículo sobre potencias repasa esa base.
Los coeficientes se multiplican por separado, porque son números. En ( 3a^{2}b cdot 4a^{3} ) los coeficientes dan ( 12 ) y las letras dan ( a^{5}b ).
Un error frecuente es multiplicar los exponentes en lugar de sumarlos. Si eso ocurre, el producto queda mal desde el primer paso.
La multiplicación de binomios término a término
Multiplicar dos binomios exige cuatro productos, porque cada término del primero toca los dos del segundo. El orden de los factores no cambia el resultado.
Primero se distribuye un binomio completo sobre el otro y después se reduce lo semejante. El ejemplo siguiente usa dos binomios con el término común ( x ):
[ (x + 7)(x – 3) = x^{2} – 3x + 7x – 21 = x^{2} + 4x – 21 ]
Los dos términos centrales se suman porque son semejantes. Quedan tres términos: uno de grado dos, otro de grado uno y un término constante.
El modelo de área y el producto de dos binomios
Un rectángulo de lados ( 2x + 5 ) y ( x + 3 ) permite ver los cuatro productos parciales de la distribución. Cada parte de la figura aporta un pedazo del total.
| Término del largo | Término del ancho | Producto parcial | Cómo se obtiene |
|---|---|---|---|
| ( 2x ) | ( x ) | ( 2x^{2} ) | Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes |
| ( 2x ) | ( 3 ) | ( 6x ) | Se multiplica el término por el número |
| ( 5 ) | ( x ) | ( 5x ) | Se multiplica el número por el término |
| ( 5 ) | ( 3 ) | ( 15 ) | Se multiplican los dos números |
Al sumar los cuatro productos parciales queda ( 2x^{2} + 11x + 15 ). Ese polinomio es la superficie del rectángulo completo.
Un huerto comunitario tiene ( 2x + 5 ) metros de largo y ( x + 3 ) metros de ancho. Su superficie total se escribe ( 2x^{2} + 11x + 15 ) metros cuadrados.
El modelo sirve para cualquier par de binomios. En una cancha de balonmano, con lados ( x + 9 ) y ( x – 4 ), el producto vale ( x^{2} + 5x – 36 ).
Un binomio por un trinomio: el producto se alarga
Con un trinomio se repite la idea, pero cada término del binomio multiplica a los tres del trinomio. El desarrollo tiene seis productos antes de reducir.
Una pista de patinaje define su área de rodaje con dos dimensiones: ( 2x^{2} – 3x + 1 ) y ( x + 4 ). El desarrollo es el siguiente:
[ (2x^{2} – 3x + 1)(x + 4) = 2x^{3} + 8x^{2} – 3x^{2} – 12x + x + 4 = 2x^{3} + 5x^{2} – 11x + 4 ]
En el volumen de una caja de madera aparece el producto ( (x + 2)(x^{2} – 2x + 4) ). Cuatro de sus términos se cancelan al reducir:
[ (x + 2)(x^{2} – 2x + 4) = x^{3} – 2x^{2} + 4x + 2x^{2} – 4x + 8 = x^{3} + 8 ]
El resultado final tiene solo dos términos y el grado tres. Comprobar un producto así con un número ayuda a detectar cualquier error de signo.
Multiplicar y después sumar o restar otro polinomio
Muchos problemas piden multiplicar dos polinomios y después restar un tercero. El paréntesis que se resta cambia el signo de todos sus términos.
| Operación | Qué ocurre | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto de signos iguales | El resultado es positivo | ( (-3) cdot (-4) = 12 ) |
| Producto de signos distintos | El resultado es negativo | ( (-3) cdot 4 = -12 ) |
| Resta de un polinomio | Cambia el signo de cada término | ( -(2x – 5) = -2x + 5 ) |
El artículo sobre términos semejantes repasa esa reducción final del resultado.
El consumo de una flota de buses interurbanos se modela con una multiplicación y una resta. El producto se calcula primero y después se resta el polinomio indicado:
[ (3x – 2)(2x + 1) – (6x^{2} – 5x + 4) = 6x^{2} – x – 2 – 6x^{2} + 5x – 4 = 4x – 6 ]
Los dos términos de grado dos se cancelan y el resultado queda de grado uno. El artículo sobre la regla de los signos refuerza esa parte.
Ejemplos de multiplicación de polinomios resueltos paso a paso
Los dos ejemplos siguientes usan la propiedad distributiva y la reducción de términos semejantes. En cada caso se muestra el desarrollo completo antes del resultado.
Ejemplo 1: los ingresos de un comerciante
Situación: Un comerciante estima sus ingresos multiplicando la cantidad de artículos ( 2x – 5 ) por el precio promedio ajustado ( 2x + 3 ). Se busca el polinomio de esos ingresos.
Paso 1. Se distribuye el primer término del primer binomio sobre los dos del segundo.
Paso 2. Se distribuye el segundo término del primer binomio, que es negativo.
Paso 3. Se suman los dos términos semejantes de grado uno.
Desarrollo completo:
[ (2x – 5)(2x + 3) = 4x^{2} + 6x – 10x – 15 ]
[ 4x^{2} + 6x – 10x – 15 = 4x^{2} – 4x – 15 ]
Resultado: los ingresos se escriben ( 4x^{2} – 4x – 15 ).
Ejemplo 2: el ingreso semanal de una distribuidora
Situación: Una distribuidora de Valparaíso vende ( x + 7 ) cajas de cuadernos a un precio unitario de ( x – 3 ) pesos chilenos. Se busca el ingreso semanal.
Paso 1. Se multiplica ( x ) por los dos términos del segundo binomio.
Paso 2. Se multiplica ( 7 ) por esos mismos dos términos.
Paso 3. Se reducen los términos semejantes de grado uno.
Desarrollo completo:
[ (x + 7)(x – 3) = x^{2} – 3x + 7x – 21 ]
[ x^{2} – 3x + 7x – 21 = x^{2} + 4x – 21 ]
Resultado: el ingreso semanal se escribe ( x^{2} + 4x – 21 ) pesos chilenos.
Comprobación: con ( x = 10 ) el producto da ( (17)(7) = 119 ) y el polinomio da ( 100 + 40 – 21 = 119 ).
Estrategias para el examen y errores frecuentes
- Contar los productos antes de empezar: dos términos por tres dan seis productos parciales.
- Escribir cada producto parcial en una línea distinta para no perder ningún término.
- Sumar los exponentes cuando la base se repite y revisar el coeficiente en el mismo paso.
- Cambiar el signo de todos los términos del polinomio que se resta entre paréntesis.
- Reducir solo los términos con la misma parte literal y dejar los demás como están.
- Comprobar el resultado con un número pequeño sustituido en las dos expresiones.
Conclusión
La multiplicación de polinomios se apoya en dos reglas. La primera es la propiedad distributiva y la segunda, la suma de exponentes de la misma base.
El producto de dos binomios genera cuatro productos parciales y el de un binomio por un trinomio, seis. Después del desarrollo se ordenan los términos y se reducen los semejantes.
Cuando la operación incluye una resta, el signo negativo se reparte sobre todo el polinomio restado. Comprobar el resultado con un número pequeño confirma que el desarrollo quedó bien.
Referencias Bibliográficas
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- OpenStax. (s. f.). Elementary Algebra 2e (sección 6.3, Multiply Polynomials). https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/6-3-multiply-polynomials
- Secretaría de Educación Pública de México. (2024). Programa Sintético de la Fase 6: Educación Secundaria. https://educacionbasica.sep.gob.mx/wp-content/uploads/2024/06/Programa_Sintetico_Fase_6.pdf
- Weisstein, E. W. (s. f.). Polynomial. MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html
Sigue estudiando: Del Enunciado a la Expresión Algebraica: Traducir al Lenguaje Algebraico y Qué es una Variable en Matemáticas: Cómo Representar un Valor Desconocido. En la misma serie: Plantear ecuaciones lineales: cómo resolverlas desde una situación, Productos notables: el cuadrado de un binomio y el trinomio cuadrado perfecto y Sumar y restar polinomios: cómo se suprimen paréntesis, corchetes y llaves.
