Despeje de fórmulas: cómo aislar una variable en una fórmula de uso escolar
Una fórmula escolar relaciona varias magnitudes escritas con letras, y casi siempre se necesita una sola de ellas. El despeje de fórmulas es el procedimiento que deja esa letra aparte, en un miembro de la igualdad.
Este artículo explica las reglas del despeje y las aplica a cuatro fórmulas escolares. En unas la variable está multiplicada; en otras, sumada, en el denominador o dentro de un paréntesis.
Qué es el despeje de fórmulas y qué significa aislar una variable
Despejar es transformar la fórmula hasta que la variable buscada quede sola en un miembro. Ese miembro conserva la letra y su coeficiente.
Aislar una variable es dejarla sin nada que la acompañe en su lado de la igualdad. Por eso el despeje se aprende como una cadena de pasos ordenados.
Conviene distinguir esta idea de la que se usa en una ecuación con un solo valor. El artículo sobre variables en fórmulas de uso diario recorre el camino inverso: leer la fórmula tal como viene.
La fórmula despejada no cambia los valores, solo escribe la misma relación de otra manera. Si la fórmula original es cierta, la despejada también lo es.
Las reglas del despeje: operaciones inversas en ambos miembros
Toda operación que se aplica a un miembro de la igualdad se aplica también al otro. Esa es la regla que sostiene el despeje completo.
Para quitar una suma se resta, y para quitar una resta se suma. La multiplicación y la división se deshacen de la misma forma, con su operación inversa.
Las cuatro fórmulas de esta pieza necesitan esas operaciones. La tabla siguiente resume qué hay que hacer en cada caso.
| Fórmula original | Expresión despejada | Operación principal |
|---|---|---|
| ( S = 25t + 60 ) | ( t = frac{S – 60}{25} ) | Restar 60 y dividir entre 25 |
| ( V = Q cdot t ) | ( t = frac{V}{Q} ) | Dividir entre el caudal ( Q ) |
| ( v = frac{d}{t} ) | ( d = v cdot t ) | Multiplicar por el tiempo ( t ) |
| ( Q = m cdot c cdot (T_f – T_i) ) | ( T_f = frac{Q}{m cdot c} + T_i ) | Dividir y después sumar ( T_i ) |
Si el paso de un miembro a otro genera dudas, conviene repasar cómo se despeja la incógnita.
Cómo despejar la variable que está multiplicada por otra cantidad
En la fórmula ( V = Q cdot t ) el volumen depende del caudal y del tiempo. Si se conocen el volumen y el caudal, la incógnita es el tiempo ( t ).
La letra ( t ) está multiplicada por ( Q ), así que el paso inverso es dividir los dos miembros entre ( Q ).
[ frac{V}{Q} = frac{Q cdot t}{Q} ]
El factor ( Q ) se cancela y la variable queda sola. Con un volumen de ( 300 text{L} ) y un caudal de ( 12 text{L/min} ), el tiempo vale ( 300 div 12 = 25 text{min} ).
Cómo despejar la variable cuando la fórmula tiene un término sumado
En un taller de Arequipa, el costo ( S ) de un servicio técnico sigue la fórmula ( S = 25t + 60 ). La letra ( t ) representa el número de horas trabajadas.
La variable está multiplicada por 25 y además tiene 60 sumados, así que primero se quita la suma.
[ S – 60 = 25t ]
Después se divide entre 25, que es el coeficiente de la letra ( t ).
[ t = frac{S – 60}{25} ]
Si el servicio costó ( 260 ) soles, el tiempo fue ( (260 – 60) div 25 = 8 text{h} ). El resultado cierra el ejercicio.
Cómo despejar una variable que aparece en el denominador
La rapidez media se escribe ( v = frac{d}{t} ), con la distancia en el numerador y el tiempo en el denominador. Según la pregunta, conviene despejar una u otra letra.
Para despejar la distancia ( d ) se multiplican los dos miembros por ( t ), y el tiempo desaparece del denominador.
[ v cdot t = d ]
Para despejar el tiempo ( t ) el paso es distinto, porque esa letra está dividiendo. Se multiplica por ( t ) y después se divide entre ( v ).
[ t = frac{d}{v} ]
Un viaje de ( 150 text{km} ) a ( 60 text{km/h} ) dura ( 150 div 60 = 2{,}5 text{h} ). La misma relación permite comprobar que ( 60 cdot 2{,}5 = 150 ).
Los problemas con distancia, tiempo y rapidez aparecen en problemas con varias magnitudes, donde las tres letras cambian de papel.
Cómo despejar una variable que está dentro de un paréntesis
El caso más exigente aparece cuando la variable está dentro de un paréntesis multiplicado. El calor absorbido por un material se calcula con ( Q = m cdot c cdot (T_f – T_i) ).
La temperatura final ( T_f ) está dentro del paréntesis, junto con la temperatura inicial ( T_i ). El paréntesis completo está multiplicado por el producto ( m cdot c ).
Primero se divide entre ese producto para que el paréntesis quede solo.
[ frac{Q}{m cdot c} = T_f – T_i ]
Después se suma la temperatura inicial ( T_i ) en los dos miembros para liberar la variable.
[ T_f = frac{Q}{m cdot c} + T_i ]
Un lote de ( 2 text{kg} ) con calor específico ( 0{,}45 ) absorbe ( 54 text{kJ} ) al pasar de ( 20 ) a ( 80 ) grados. Ese control confirma que el paréntesis quedó bien despejado.
La misma fórmula se usa en temperatura y su medición para comparar valores antes y después de un proceso.
Cómo sustituir valores en una fórmula después del despeje
Despejar no termina el ejercicio: falta sustituir valores y calcular el número pedido. La sustitución se hace al final, cuando la variable ya está sola.
Antes de reemplazar cada letra conviene anotar la unidad de cada magnitud. Mezclar horas con minutos cambia por completo el resultado.
La tabla siguiente reúne las cuatro fórmulas con un juego de valores. En todos los casos el número sale de una división o de una multiplicación.
| Fórmula despejada | Valores que se sustituyen | Resultado |
|---|---|---|
| ( t = frac{S – 60}{25} ) | ( S = 260 ) soles | ( 8 text{h} ) |
| ( t = frac{V}{Q} ) | ( V = 300 text{L} ), ( Q = 12 text{L/min} ) | ( 25 text{min} ) |
| ( d = v cdot t ) | ( v = 60 text{km/h} ), ( t = 2{,}5 text{h} ) | ( 150 text{km} ) |
| ( T_f = frac{Q}{m cdot c} + T_i ) | ( Q = 54 text{kJ} ), ( m cdot c = 0{,}9 ), ( T_i = 20 ) | ( 80 ) grados |
Los dos ejemplos siguientes recorren el camino completo: se despeja una variable y después se sustituyen los datos. Los dos corresponden a fórmulas escolares del banco de este tema.
Ejemplo 1: despejar el tiempo en el costo de un servicio técnico
Situación: Un taller cobra el servicio técnico con la fórmula ( S = 25t + 60 ), en soles y por horas. Un cliente pagó ( 260 ) soles y quiere saber cuántas horas trabajó.
Paso 1. Se identifica la variable que se busca, que es el tiempo ( t ).
Paso 2. Se resta 60 en los dos miembros para quitar el término sumado.
Paso 3. Se divide entre 25 para dejar sola la letra ( t ).
Desarrollo completo:
[ t = frac{260 – 60}{25} = frac{200}{25} = 8 ]
Resultado: el servicio duró ( 8 ) horas, porque ( 25 cdot 8 + 60 = 260 ) soles.
Ejemplo 2: despejar la temperatura final de un material
Situación: En una fábrica de cerámicas se usa la fórmula ( Q = m cdot c cdot (T_f – T_i) ). Un lote absorbió ( 54 text{kJ} ), con ( m cdot c = 0{,}9 ) y una temperatura inicial de ( 20 ) grados.
Paso 1. Se divide entre el producto ( m cdot c ) para liberar el paréntesis.
Paso 2. Se suma la temperatura inicial en los dos miembros para dejar sola la variable.
Paso 3. Se sustituyen los datos en la fórmula despejada.
Desarrollo completo:
[ T_f = frac{Q}{m cdot c} + T_i ]
[ T_f = frac{54}{0{,}9} + 20 = 60 + 20 = 80 ]
Resultado: la temperatura final del material llegó a ( 80 ) grados, porque ( 54 div 0{,}9 + 20 = 80 ).
Estrategias para el examen y errores frecuentes
- Identificar la variable pedida antes de tocar la fórmula.
- Reconocer el papel de cada letra: si multiplica, divide o está sumada.
- Aplicar la operación inversa en los dos miembros de la igualdad.
- Quitar primero los términos sumados y después los factores que acompañan.
- Comprobar la fórmula despejada con un valor que ya se conozca.
Conclusión
En el despeje, lo que se hace en un miembro se hace en el otro. Con esa regla, cualquier letra puede quedar sola en la fórmula.
Las cuatro fórmulas de esta pieza muestran los casos más frecuentes del tema. Después del despeje llega la sustitución, y comprobar el resultado cierra el ejercicio.
Referencias Bibliográficas
- Baldor, A. (s. f.). Álgebra. Obra citada por el banco de preguntas del tema.
- Ministerio de Educación de Chile. (s. f.). Temario de exámenes libres: Octavo Básico. Ayuda Mineduc. https://ayudamineduc.cl/sites/default/files/temario_basica_8deg_basico_uce.pdf
- Ministerio de Educación del Ecuador. (2025). Adaptaciones curriculares con énfasis en competencias para la educación de personas jóvenes y adultas (EPJA). https://educacion.gob.ec/wp-content/uploads/downloads/2025/09/adaptaciones-curriculares-EGB-BS-BG.pdf
- Ministerio de Educación del Perú. (2016). Currículo Nacional de la Educación Básica. https://www.minedu.gob.pe/curriculo/pdf/curriculo-nacional-2016-2.pdf
- OpenStax. (2020). Elementary Algebra 2e (sección 2.6, Solve a Formula for a Specific Variable). https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable
- Rich, B. (s. f.). Álgebra elemental. Obra citada por el banco de preguntas del tema.
- Weisstein, E. W. (s. f.). Equation. MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Equation.html
Sigue estudiando: Coeficiente, Grado y Monomios: Leer una Expresión Algebraica y Ecuaciones de Primer Grado: Qué Significa Resolver una Ecuación. En la misma serie: Factorización de polinomios: factor común, diferencia de cuadrados y casos combinados, Modelar situaciones reales con expresiones algebraicas: tablas, fórmulas y sucesiones y Monomios y valor numérico: coeficiente, grado y parte literal.
