Datos agrupados: intervalos de clase y frecuencia acumulada
Cuando un conjunto de datos tiene demasiados valores distintos, conviene agruparlos en intervalos de clase. Así la tabla queda corta y las tendencias se ven de un vistazo.
Este artículo explica cómo se eligen esos intervalos y cómo se leen sus corchetes. También muestra para qué sirven la frecuencia acumulada y la frecuencia relativa acumulada.
Qué son los intervalos de clase y cuándo conviene agrupar
Un intervalo de clase es un tramo de valores que reúne varios datos parecidos. En lugar de anotar cada valor, se cuenta cuántos datos caen dentro del tramo.
Agrupar conviene cuando la variable es continua o cuando hay demasiados valores distintos. Con pocos datos, una tabla de valores puntuales se lee mejor.
En un estudio de movilidad urbana se encuestó a 120 usuarios de autobús sobre su tiempo de traslado. Anotar los 120 tiempos uno por uno daría una tabla larguísima.
Por eso los tiempos se agruparon en intervalos de diez minutos, desde ( [10, 20[ ) hasta ( [40, 50[ ). El artículo sobre población, muestra y variables explica qué se mide en un estudio así.
Cómo se leen los corchetes y la amplitud de un intervalo
La escritura ( [20, 30[ ) se lee «al menos 20 pero menos de 30». El corchete incluye ese extremo y el corchete invertido lo deja fuera.
La amplitud es la distancia entre los dos extremos de un intervalo. En ( [20, 30[ ) la amplitud es ( 30 – 20 = 10 ).
El punto medio se llama marca de clase y representa al intervalo completo. Se calcula sumando los extremos y dividiendo entre dos, así que en ( [20, 30[ ) vale ( (20 + 30) div 2 = 25 ).
No todos los intervalos se escriben con corchetes. En algunos informes aparecen con palabras, como «entre 40 y 59 dólares».
| Escritura | Qué incluye | Qué deja fuera |
|---|---|---|
| ( [0, 10[ ) | El extremo 0 | El extremo 10 |
| ( [0, 10] ) | Los dos extremos, 0 y 10 | Ningún extremo queda fuera |
| Entre 40 y 59 | Los dos valores nombrados | Ningún valor nombrado queda fuera |
El corchete invertido del final solo aparece cuando el extremo derecho no pertenece al intervalo. Esa diferencia decide si un dato exacto se cuenta en una fila o en la siguiente.
Cómo se construye la tabla de frecuencias con datos agrupados
La tabla lleva una fila por intervalo y una columna por cada conteo. La frecuencia absoluta ( f_i ) indica cuántos datos caen dentro del intervalo.
La frecuencia relativa ( h_i ) es esa cuenta dividida entre el total de datos. La frecuencia acumulada ( F_i ) suma las frecuencias absolutas hasta esa fila.
La tabla siguiente resume la frecuencia cardíaca en reposo de 80 estudiantes. Las columnas acumuladas se obtienen sumando hacia abajo, fila por fila.
| Pulsaciones (lpm) | Marca de clase ( x_i ) | ( f_i ) | ( h_i ) | ( F_i ) | Porcentaje acumulado |
|---|---|---|---|---|---|
| ( [60, 70[ ) | 65 | 16 | 0,20 | 16 | 20 % |
| ( [70, 80[ ) | 75 | 32 | 0,40 | 48 | 60 % |
| ( [80, 90[ ) | 85 | 20 | 0,25 | 68 | 85 % |
| ( [90, 100[ ) | 95 | 12 | 0,15 | 80 | 100 % |
La última fila acumulada coincide con el total del estudio, que es de 80 estudiantes. Esa coincidencia es el control que confirma que la tabla quedó bien construida.
La frecuencia acumulada y la respuesta a la pregunta «cuántos»
La frecuencia acumulada responde preguntas de corte sin sumar los intervalos uno por uno. Basta leer la fila donde termina el corte y, si hace falta, restar.
En la tabla de la jornada médica, 48 estudiantes tienen menos de 80 pulsaciones. Ese 48 es la frecuencia acumulada del intervalo ( [70, 80[ ).
Para saber cuántos tienen al menos 70 pulsaciones se suman las filas desde ese corte. El cálculo es ( 32 + 20 + 12 = 64 ), y los 16 restantes quedan por debajo.
Un comerciante de Quito registró sus ingresos diarios durante 25 días de feria. Los días con al menos 60 dólares fueron ( 11 + 8 = 19 ), que son el 76 % del total.
En una prueba diagnóstica de 60 estudiantes, 24 quedaron entre 70 y menos de 85 puntos. Los 6 restantes llegaron a 85 o más, así que la mitad del grupo alcanzó los 70 puntos.
La frecuencia relativa acumulada y los cortes «al menos» y «menos de»
La frecuencia relativa acumulada es la frecuencia acumulada dividida entre el total. Su resultado se escribe en porcentaje y responde qué parte del grupo queda por debajo de un valor.
En el estudio de movilidad, 72 de los 120 usuarios tardan menos de 30 minutos. La relativa acumulada de ( [20, 30[ ) es ( 72 div 120 = 0{,}60 ), o sea el 60 %.
Cuando la pregunta usa «al menos», se resta de 100 % lo que queda por debajo del corte. En el mismo estudio, el 40 % restante tarda 30 minutos o más.
En otro edificio, catorce de los 40 apartamentos se quedaron entre 150 y menos de 200 litros. La relativa de ese intervalo es ( 14 div 40 = 0{,}35 ), o sea el 35 %.
Otra encuesta consultó a 150 estudiantes sobre plataformas educativas. Cuarenta y cinco dedican entre 8 y menos de 12 horas semanales, y 30 dedican entre 12 y 16.
Los 75 que dedican 8 horas o más son el 50 % de ese grupo.
Si la conversión del cociente a porcentaje genera dudas, el artículo sobre frecuencia relativa y porcentajes repasa ese paso.
El histograma y el polígono de frecuencias
El histograma dibuja un rectángulo por intervalo y su altura representa la frecuencia absoluta. Las barras quedan pegadas porque los intervalos son continuos.
El polígono de frecuencias une con segmentos rectos los puntos de las marcas de clase. Sirve para ver dónde se concentran los datos y hacia dónde se alarga la distribución.
En un club de atletismo se registró la distancia semanal de 60 miembros. El histograma muestra que el tramo de 15 a 25 kilómetros reúne a ( 21 + 18 = 39 ) atletas, el 65 %.
En un laboratorio de computación se midió la velocidad de descarga de 50 conexiones. La mitad de las conexiones, 25 en total, queda por debajo de ( 60 text{Mbps} ).
Leer bien las alturas del histograma también requiere práctica con otros gráficos. El artículo sobre gráficos de barras y de líneas cubre esa lectura.
Ejemplos de datos agrupados resueltos paso a paso
Los dos ejemplos siguientes usan tablas de intervalos y piden un corte distinto en cada caso. En los dos se comprueba el resultado con las frecuencias absolutas.
Ejemplo 1: el porcentaje de días con poca lluvia
Situación: Una estación meteorológica registró 30 días de precipitación repartidos en cuatro intervalos. Se busca el porcentaje de días con menos de ( 20 text{mm} ).
Paso 1. Los intervalos que quedan bajo el corte son ( [0, 10[ ) y ( [10, 20[ ), con 9 y 12 días.
Paso 2. Se suman esas frecuencias absolutas para obtener los días del corte.
Paso 3. Se divide entre el total de 30 días y se convierte el cociente a porcentaje.
Desarrollo completo:
[ 9 + 12 = 21 ]
[ 21 div 30 = 0{,}70 ]
[ 0{,}70 times 100 = 70% ]
Resultado: el 70 % de los días registró una precipitación menor a ( 20 text{mm} ).
Ejemplo 2: los días con más partículas en el aire
Situación: Un informe ambiental midió la concentración de partículas durante 80 días. Se buscan los días con al menos ( 50 mu g/m^3 ).
Paso 1. Hasta el intervalo ( [25, 50[ ) la frecuencia porcentual acumulada es del 60 %.
Paso 2. Se resta ese porcentaje de 100 % para obtener el corte pedido.
Paso 3. Se suman las frecuencias absolutas de los dos intervalos finales, que son 24 y 8 días.
Desarrollo completo:
[ 100% – 60% = 40% ]
[ 24 + 8 = 32 ]
[ 32 div 80 = 0{,}40 = 40% ]
Resultado: 32 días, el 40 % del registro, tuvieron una concentración de al menos ( 50 mu g/m^3 ).
Estrategias para el examen y errores frecuentes
- Contar cuántos datos hay en total antes de empezar, porque ese número es el control de toda la tabla.
- Ubicar el corte del enunciado en la fila correcta: «menos de», «al menos» y «como máximo» no son lo mismo.
- Leer la frecuencia acumulada sin sumar de nuevo cuando la tabla ya la trae calculada.
- Pasar de fracción a porcentaje multiplicando por 100 y anotar el símbolo de porcentaje.
- Verificar que las frecuencias relativas sumen 1 y que los porcentajes acumulados terminen en 100 %.
- Revisar que la marca de clase sea el punto medio y no uno de los extremos del intervalo.
Conclusión
Los intervalos de clase resumen un conjunto grande de datos en unas pocas filas. Sus corchetes, su amplitud y su marca de clase son los datos que hay que leer con cuidado.
La frecuencia acumulada responde «cuántos» y la relativa acumulada responde «qué porcentaje». Con esas dos columnas se contestan los cortes de «menos de» y de «al menos» sin sumar dato por dato.
Antes de entregar el ejercicio conviene comprobar que la última casilla acumulada coincida con el total. Ese control sencillo confirma que la agrupación quedó bien hecha.
Referencias Bibliográficas
- Baldor, A. (2019). Aritmética. Grupo Editorial Patria. Obra citada por el banco de preguntas del tema en el contexto del consumo de agua por apartamento.
- Larson, R. (s. f.). Matemáticas. Obra citada en el banco de preguntas del tema (contexto de la frecuencia cardíaca de 80 estudiantes).
- Ministerio de Educación Pública de Costa Rica. (2012). Programas de estudio de Matemáticas: III ciclo de la Educación General Básica. https://www.mep.go.cr/sites/default/files/media/matematica.pdf
- OpenStax. (s. f.). Introductory Statistics 2e (sección 2.2, Histograms, Frequency Polygons, and Time Series Graphs). https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-2-histograms-frequency-polygons-and-time-series-graphs
- Spiegel, M. R., & Stephens, L. J. (2009). Estadística (4.ª ed.). McGraw-Hill. Obra citada por el banco de preguntas del tema en los contextos de precipitación, PM2.5, velocidades y movilidad urbana.
- Weisstein, E. W. (s. f.). Frequency Distribution. MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/FrequencyDistribution.html
- Weisstein, E. W. (s. f.). Histogram. MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Histogram.html
Sigue estudiando: Tablas de Frecuencia: Cómo Organizar un Conjunto de Datos y La Media Aritmética: Qué Significa y Cómo Se Calcula. En la misma serie: Eventos compuestos: probabilidad de la unión y del complemento, Frecuencia absoluta y relativa: leer tablas y gráficos estadísticos y Medidas de dispersión: el rango para comparar conjuntos de datos.
