Principio multiplicativo: contar sin enumerar uno por uno
El principio multiplicativo permite contar los resultados de una situación con varias etapas sin escribir la lista completa. En lugar de enumerar uno por uno, se multiplica el número de opciones de cada etapa.
Este artículo explica por qué se multiplica, cuándo conviene sumar y qué cambia cuando una opción ya se usó. Antes de empezar conviene recordar cómo se organizan los datos estadísticos, porque el conteo trabaja con conjuntos de resultados.
Qué es el principio multiplicativo
El principio multiplicativo dice que una tarea hecha en etapas sucesivas se cuenta multiplicando las opciones de cada etapa. Si la primera etapa tiene (m) opciones y la segunda tiene (n), el total es (m times n).
[ text{resultados completos} = m times n ]
La razón es que cada opción de la primera etapa se combina con todas las de la segunda. Así se forman (m) grupos de (n) resultados, y el producto es la suma de esos grupos.
El producto no exige que las etapas sean independientes entre sí. Basta con que cada resultado completo use una opción de cada etapa.
A veces las dos etapas tienen el mismo número de opciones. Un código con una vocal y un dígito impar usa (5) vocales y (5) dígitos.
El total de códigos distintos es (5 times 5 = 25).
Con tres o más etapas la regla se repite. Una tarea de tres etapas encadena un factor más por cada etapa nueva.
Técnicas de conteo: reconocer las etapas antes de multiplicar
Las técnicas de conteo se apoyan en un procedimiento corto. Primero se identifican las etapas; después se cuenta cuántas opciones tiene cada una.
El tercer paso es multiplicar esos números y el cuarto es comprobar el resultado. La comprobación consiste en revisar que cada resultado completo use una opción por etapa.
Conviene anotar las etapas en una lista antes de calcular. Ese hábito evita multiplicar dos veces la misma etapa o dejar una fuera.
La tabla siguiente muestra cuándo se multiplica y cuándo se suma en situaciones parecidas.
| Situación | Pregunta | Operación y resultado |
|---|---|---|
| Merienda con 4 jugos y 3 emparedados | ¿Cuántas meriendas completas se arman? | Multiplicar: (4 times 3 = 12) |
| Merienda con 4 jugos y 3 emparedados | ¿Cuántos jugos o emparedados distintos hay? | Sumar: (4 + 3 = 7) |
| Viaje con 3 líneas de autobús y 4 rutas de tren | ¿Cuántos recorridos completos existen? | Multiplicar: (3 times 4 = 12) |
| Código de 3 dígitos distintos con 5 cifras | ¿Cuántos códigos distintos se forman? | Multiplicar: (5 times 4 times 3 = 60) |
| Código de 3 dígitos con 5 cifras repetibles | ¿Cuántos códigos distintos se forman? | Potencia: (5^3 = 125) |
La diferencia está en la pregunta y no en los datos. Una merienda completa encadena las dos etapas; un jugo suelto solo elige entre los jugos.
Un uniforme de atletismo se cuenta igual: elige 1 camiseta entre 3 colores y 1 pantaloneta entre 2 colores. Los (3 times 2 = 6) uniformes completos salen del mismo producto.
El diagrama de árbol: por qué se multiplica
Un diagrama de árbol dibuja las etapas como ramas. De cada opción de la primera etapa salen tantas ramas como opciones tenga la segunda.
Al final del dibujo quedan los resultados completos, uno por cada camino. Contar esos extremos equivale a multiplicar las ramas de cada nivel.
Con 4 jugos y 3 emparedados el árbol tiene (4) ramas y de cada una salen (3). Los extremos finales son (4 times 3 = 12), los mismos que da el producto.
El árbol es útil cuando el número de resultados es pequeño. Con espacios muestrales grandes el dibujo se vuelve enorme y conviene multiplicar.
Permutaciones sin repetición: cuando una opción ya se usó
Una permutación sin repetición es un orden de opciones en el que ninguna se repite. Cada etapa pierde una opción, porque la etapa anterior ya la gastó.
Un código de 3 dígitos distintos con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 sirve de ejemplo. En la primera posición hay (5) cifras disponibles y en la segunda quedan (4).
Para la tercera posición quedan (3) cifras, así que el total es (5 times 4 times 3 = 60). Si se permitieran repeticiones, cada posición conservaría sus (5) cifras.
El total sería (5^3 = 125), un producto que se escribe como una potencia.
| Tipo de elección | Opción que se repite | Ejemplo | Total |
|---|---|---|---|
| Con repetición | Cada etapa conserva todas sus opciones | Código de 3 cifras con las cifras 1 a 5 | (5^3 = 125) |
| Sin repetición | Cada etapa pierde la opción ya usada | Código de 3 cifras distintas con las cifras 1 a 5 | (5 times 4 times 3 = 60) |
| Sin repetición, etapas distintas | Cada etapa tiene su propio grupo de opciones | Código con una vocal y un dígito impar | (5 times 5 = 25) |
La clave es contar las opciones que quedan en cada etapa. Si la segunda etapa mantiene todas las opciones, entonces sí hay repetición.
Cuándo se suma en lugar de multiplicar
La suma aparece cuando la pregunta pide una sola cosa y las alternativas no se combinan. Cuatro jugos y tres emparedados dan (4 + 3 = 7) productos distintos del mostrador.
En cambio, una merienda completa encadena las dos etapas y por eso se multiplica. El error más frecuente es sumar cuando la pregunta pide combinaciones completas.
Un viaje con escala encadena dos etapas y por eso se multiplica. De la ciudad A a la B hay 3 líneas de autobús.
De la B a la C hay 4 rutas de tren. El total son (3 times 4 = 12) recorridos completos.
Sumar daría 7, que cuenta líneas y rutas por separado.
Para decidir, conviene leer la pregunta y buscar la palabra «y» o la palabra «o». La primera encadena etapas y la segunda presenta alternativas del mismo tipo.
Del conteo a la probabilidad
Contar los casos posibles es el paso previo para calcular una probabilidad. La regla de Laplace compara los casos favorables con los casos posibles de un experimento.
Con el código de 3 dígitos distintos, el espacio muestral tiene (60) resultados. Los códigos que empiezan con la cifra 1 son (1 times 4 times 3 = 12).
La probabilidad de que el código empiece con 1 es (frac{12}{60} = frac{1}{5} = 0{,}2). Escrita como porcentaje, esa probabilidad equivale al (20,%).
[ P(text{empieza con 1}) = frac{12}{60} = frac{1}{5} ]
El conteo también responde la pregunta contraria. Los códigos que no empiezan con 1 son (60 – 12 = 48).
Esa resta se apoya en el total contado antes y se parece al complemento de un evento.
Para aplicar la regla de Laplace hay que contar antes los casos posibles. En espacios muestrales grandes, el principio multiplicativo es la vía práctica para hallar ese total.
Ejemplos resueltos de conteo en la vida diaria
Los dos ejemplos siguientes aplican el principio multiplicativo y las permutaciones sin repetición. En los dos casos se anotan las etapas antes de multiplicar.
Ejemplo 1: las meriendas de una cafetería escolar
Situación: Un estudiante de Santiago elige una merienda con un jugo entre 4 sabores y un emparedado entre 3 tipos. Cada merienda cuesta (2,500 text{pesos chilenos}) sin importar la combinación.
Paso 1. Se identifican las dos etapas: elegir el jugo y elegir el emparedado.
Paso 2. Se cuentan las opciones de cada etapa: 4 jugos y 3 emparedados.
Paso 3. Se multiplica, porque cada jugo se combina con los 3 emparedados.
Desarrollo completo:
[ 4 times 3 = 12 ]
[ 4 + 3 = 7 quad text{(solo cuenta jugos y emparedados)} ]
Resultado: el estudiante puede armar (12) meriendas distintas. El precio es el mismo en las doce, porque el costo no depende de la combinación elegida.
Ejemplo 2: el código de seguridad de la aplicación
Situación: Una aplicación móvil genera un código de 3 dígitos distintos con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5. El código no permite repeticiones.
Paso 1. Se identifican tres etapas: la primera, la segunda y la tercera posición del código.
Paso 2. Se cuentan las cifras disponibles en cada posición: 5, después 4 y al final 3.
Paso 3. Se multiplican las tres cantidades, porque cada posición encadena con la siguiente.
Desarrollo completo:
[ 5 times 4 = 20 ]
[ 20 times 3 = 60 ]
[ 5^3 = 125 quad text{(si se permitieran repeticiones)} ]
Resultado: la aplicación puede generar (60) códigos distintos. Si se permitieran repeticiones habría (125), pero el enunciado las prohíbe.
Estrategias para el examen y errores frecuentes
- Identificar las etapas del problema y anotarlas en una lista antes de multiplicar.
- Contar las opciones de cada etapa en orden y revisar si la anterior ya se usó.
- Multiplicar cuando las etapas se encadenan y sumar cuando las opciones son alternativas.
- Escribir el resultado con la etiqueta de lo que se cuenta: meriendas, códigos o recorridos.
- Comprobar con un diagrama de árbol cuando el total de resultados sea pequeño.
- Revisar si el enunciado permite repeticiones antes de elegir el cálculo.
Conclusión
El principio multiplicativo cuenta los resultados de una tarea en etapas multiplicando las opciones de cada una. Con dos etapas el total es (m times n) y con tres se encadena un factor más.
Cuando una opción ya se usó, cada etapa pierde una alternativa y el producto baja. Si las opciones no se combinan, entonces se suma en lugar de multiplicar.
Referencias Bibliográficas
- Illowsky, B., & Dean, S. (2023). Introductory statistics 2e (sección 3.5). OpenStax. https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-5-tree-and-venn-diagrams
- Weisstein, E. W. (s. f.-a). Multiplication principle. MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/MultiplicationPrinciple.html
- Weisstein, E. W. (s. f.-b). Permutation. MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Permutation.html
Sigue estudiando: Probabilidad: Cómo Se Calcula y Qué Significa el Resultado y Eventos Seguros, Posibles e Imposibles: Sucesos Complementarios. En la misma serie: Promedio ponderado y media con datos agrupados, Regla de Laplace: cómo calcular la probabilidad de un evento y Mediana, moda y valor atípico: qué medida representa mejor.
