Raíz Cuadrada: Cómo Hallarla a partir de un Cuadrado Perfecto
La raíz cuadrada de un número es el valor que, multiplicado por sí mismo, devuelve ese número. Hallarla es recorrer al revés el camino del cuadrado, así que este artículo presenta esa relación, la lista de los cuadrados perfectos y el modo de estimar una raíz que no es exacta.
El símbolo que la representa es el signo radical, que se coloca delante del número. Así, escribir (sqrt{144}) significa preguntar qué número elevado al cuadrado da 144.
Debajo del signo va el radicando, que es la cantidad de la que se busca la raíz. En el ejemplo anterior, 144 es el radicando y 12 es la raíz, porque (12^2 = 144).
Cómo se lee y se escribe la raíz cuadrada
El signo radical se lee como la palabra raíz, y el número escrito debajo se lee a continuación. La expresión (sqrt{25}) se lee raíz cuadrada de veinticinco y su valor es 5.
El índice del radical es el número pequeño que se coloca en la esquina del signo. En la raíz cuadrada ese índice vale 2 y casi siempre se omite, de modo que el signo se escribe solo.
La raíz cúbica usa el mismo signo con el índice 3 y busca un número que multiplicado tres veces por sí mismo dé el radicando. Así, (sqrt[3]{8} = 2), porque (2 times 2 times 2 = 8).
La relación entre el cuadrado y la raíz cuadrada
Elevar al cuadrado y extraer la raíz cuadrada son operaciones inversas: la primera va del lado al área y la segunda vuelve del área al lado. Si se conoce el lado de un cuadrado, un producto da su área; si se conoce el área, una raíz devuelve el lado.
La relación se escribe con una sola igualdad. Cuando un número (n) cumple que (n^2 = m), entonces (n) es la raíz cuadrada de (m).
[sqrt{m} = n quad text{si y solo si} quad n^2 = m]
Un cuadrado de 9 baldosas por lado tiene (9 times 9 = 81) baldosas. La operación inversa confirma el dato, porque (sqrt{81} = 9) y cada lado vuelve a medir 9 baldosas.
El cuadrado crece muy rápido y la raíz deshace ese crecimiento con la misma rapidez. Un lado de 10 baldosas produce un cuadrado de 100, y un lado de 20 produce uno de 400.
Al duplicar el lado, el área se multiplica por cuatro. Ese detalle explica por qué conviene conocer bien la tabla de los cuadrados antes de buscar una raíz.
La raíz cuadrada también permite deshacer un cuadrado en un problema de geometría. Si el área de una figura cuadrada se conoce, la raíz entrega de inmediato la longitud del lado.
Esa lectura geométrica es la razón por la que el tema se estudia junto a las áreas. El cuadrado lleva del lado al área, y la raíz hace el viaje de vuelta.
Qué es un cuadrado perfecto
Un cuadrado perfecto es el resultado de multiplicar un número natural por sí mismo. Los primeros son 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100, y cada uno tiene una raíz cuadrada exacta.
Cuando el radicando es un cuadrado perfecto, la raíz es un número natural y no queda ninguna parte decimal. Cuando el radicando no lo es, la raíz es un número con decimales y ya no es exacta.
| Se escribe | El cuadrado | La raíz cuadrada |
|---|---|---|
| (3^2) | 9 | 3 |
| (5^2) | 25 | 5 |
| (8^2) | 64 | 8 |
| (11^2) | 121 | 11 |
| (12^2) | 144 | 12 |
| (15^2) | 225 | 15 |
Esta lista ahorra cuentas, pero la raíz se puede hallar aunque el cuadrado no aparezca en ella. Basta con buscar el número que, multiplicado por sí mismo, da el radicando.
Los cuadrados perfectos terminan siempre en una de estas cifras: 0, 1, 4, 5, 6 o 9. Ningún cuadrado perfecto termina en 2, 3, 7 u 8, así que esa pista descarta radicandos de un solo vistazo.
El cero también es un cuadrado perfecto, porque (0^2 = 0). Su raíz cuadrada es 0 y es el único caso en que la raíz iguala al radicando.
Cómo hallar la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto
Hallar la raíz de un cuadrado perfecto es una búsqueda ordenada entre los números naturales. El procedimiento se apoya en los cuadrados que ya se conocen de memoria.
Primero se ubica el radicando entre dos cuadrados vecinos de la lista. Después se decide cuál de esos números es el que al cuadrado da exactamente el radicando.
[13^2 = 169 quad text{y} quad 14^2 = 196 quad Rightarrow quad sqrt{196} = 14]
El cuadrado que coincide con el radicando es 196, así que la raíz es 14. Cuando ningún cuadrado coincide, el radicando no es un cuadrado perfecto y la raíz deja de ser exacta.
La última cifra del radicando ofrece una segunda pista. Un cuadrado que termina en 6 proviene de una raíz que termina en 4 o en 6, y uno que termina en 5 proviene siempre de una raíz que termina en 5.
Con la práctica, la búsqueda se vuelve inmediata y ya no hace falta escribir los cuadrados vecinos. La tabla de los cuadrados perfectos hasta 225 cubre la mayoría de los ejercicios escolares.
Ejemplo 1: los botones de un tablero cuadrado
Situación: Un tablero de control tiene 289 botones táctiles repartidos en filas y columnas iguales, de manera que forman un cuadrado.
Paso 1. Se reconoce que el total de botones es el área de un cuadrado, así que cada lado tiene la misma cantidad.
Paso 2. Se busca un número natural que multiplicado por sí mismo dé 289.
Paso 3. Se comparan los cuadrados vecinos: (16^2 = 256) y (17^2 = 289).
Desarrollo completo:
[17 times 17 = 289 quad Rightarrow quad sqrt{289} = 17]
Resultado: cada lado del tablero tiene 17 botones, porque (17^2 = 289).
Cómo estimar una raíz cuadrada no exacta
Cuando el radicando no es un cuadrado perfecto, la raíz se ubica entre dos números naturales consecutivos. El cálculo exacto ya no da un número natural, pero la estimación sí permite acotarlo.
El método consiste en encontrar los dos cuadrados perfectos que rodean al radicando. La raíz buscada queda entonces entre las raíces de esos dos cuadrados.
[49 < 50 < 64 quad Rightarrow quad 7 < sqrt{50} < 8]
Como 50 está mucho más cerca de 49 que de 64, su raíz está un poco por encima de 7. Un valor aproximado es (sqrt{50} approx 7{,}07), que al elevarse al cuadrado devuelve casi 50.
Para afinar la estimación se comparan las distancias del radicando a los dos cuadrados vecinos. Cuanto más cerca esté el radicando de un cuadrado, más cerca estará la raíz de la raíz de ese cuadrado.
La raíz de un número que no es cuadrado perfecto nunca termina de escribirse con decimales finitos, por eso se trabaja con una aproximación. Para las tareas escolares suele bastar con ubicar primero los dos enteros y luego afinar una cifra decimal.
| Paso | Qué se hace | Ejemplo con (sqrt{50}) |
|---|---|---|
| Paso 1 | Se buscan los dos cuadrados perfectos vecinos | (49 < 50 < 64) |
| Paso 2 | Se toma la raíz cuadrada de cada cuadrado | (7 < sqrt{50} < 8) |
| Paso 3 | Se ve si el radicando está más cerca del menor o del mayor | 50 está más cerca de 49 |
Ejemplo 2: el lado de un terreno cuadrado
Situación: Un terreno cuadrado tiene una superficie de 500 metros cuadrados y se quiere conocer la medida aproximada de cada lado.
Paso 1. Se busca el número que al cuadrado da 500, que es la raíz cuadrada de la superficie.
Paso 2. Se ubican los cuadrados perfectos vecinos: (22^2 = 484) y (23^2 = 529).
Paso 3. Se compara la distancia a cada cuadrado: 500 está a 16 de 484 y a 29 de 529.
Desarrollo completo:
[484 < 500 < 529 quad Rightarrow quad 22 < sqrt{500} < 23] [500 - 484 = 16 quad ; quad 529 - 500 = 29]
Resultado: cada lado mide entre 22 y 23 metros y, como el radicando está más cerca de 484, un valor aproximado es (sqrt{500} approx 22{,}36) metros.
Raíces de números grandes: agrupar las cifras
Cuando el radicando tiene muchas cifras, conviene separarlo en grupos de dos empezando por la derecha. El número de grupos anuncia cuántas cifras tendrá la raíz cuadrada.
Un radicando de 10 000 se separa en dos grupos, así que su raíz tiene dos cifras. Como (100^2 = 10000), la raíz cuadrada de 10 000 es exactamente 100.
Ese conteo funciona como una primera comprobación del resultado. Si la raíz calculada tiene menos cifras que los grupos del radicando, la estimación está mal y conviene repetirla.
Estrategias para el examen y errores frecuentes
- Memorizar los cuadrados perfectos hasta (15^2 = 225), porque esa tabla resuelve casi todas las raíces exactas que aparecen en un examen.
- Comprobar cada resultado elevando la raíz al cuadrado, ya que esa operación deshace la raíz y confirma el radicando.
- Ubicar el radicando entre dos cuadrados vecinos cuando la raíz no sea exacta, para acotar el valor sin calculadora.
- Leer con cuidado cuál es el radicando y cuál la raíz, porque el enunciado puede pedir cualquiera de los dos.
- Desconfiar de una raíz mayor que su radicando, pues eso solo ocurre con los números 0 y 1.
- Revisar la última cifra del radicando como pista, recordando que ningún cuadrado perfecto termina en 2, 3, 7 u 8.
Conclusión
La raíz cuadrada es la operación que deshace el cuadrado, y reconocer esa ida y vuelta es la clave de todo el tema. Con los cuadrados perfectos a mano, hallar una raíz exacta es cuestión de buscar el número que multiplicado por sí mismo da el radicando.
Cuando el radicando no es un cuadrado perfecto, la estimación entre dos números consecutivos ofrece una respuesta razonable. Comprobar siempre elevando al cuadrado deja el resultado verificado y listo para seguir operando.
Ese camino, del cuadrado a la raíz y de la raíz al cuadrado, reaparece más adelante en el estudio de las potencias y de las figuras geométricas. Dominar la tabla y la estimación evita depender de la calculadora en cada ejercicio.
Referencias Bibliográficas
- Marecek, L., Anthony-Smith, M., & Mathis, A. H. (2020). Prealgebra 2e (sección 5.7). OpenStax. https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/5-7-simplify-and-use-square-roots
- Weisstein, E. W. (s. f.). Square Number. MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/SquareNumber.html
- Weisstein, E. W. (s. f.). Square Root. MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/SquareRoot.html
Sigue estudiando: Potencias – Dominando los exponentes y Cómo Descomponer un Número Compuesto en sus Factores Primos.
