Fracciones Equivalentes: Cómo Amplificar y Simplificar

Fracciones Equivalentes: Cómo Amplificar y Simplificar

Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte de un todo, aunque se escriban con números distintos. Este artículo explica qué son las fracciones equivalentes y enseña a amplificar, a simplificar y a llevar una fracción a un denominador pedido.

Amplificar y simplificar son las dos caras de una misma idea: cambiar los números sin cambiar el valor. La fracción irreducible, aquella que ya no se puede reducir más, es el resultado habitual de toda simplificación.

Qué son las fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando expresan la misma porción de una unidad, aunque el numerador y el denominador sean números diferentes. La parte que se toma es idéntica; lo único que cambia es la manera de contarla.

Si una barra de pan se corta en dos mitades y se toma una, se tiene la mitad. Si la misma barra se corta en cuatro cuartos y se toman dos, se tiene otra vez la mitad.

Las fracciones (frac{1}{2}) y (frac{2}{4}) son equivalentes porque cubren exactamente la misma porción. En general, una fracción tiene infinitas fracciones equivalentes, que se obtienen al multiplicar sus dos términos por el mismo número.

Esta igualdad de valor es la base de buena parte del trabajo con fracciones. Reconocerla permite escribir la misma cantidad de la forma más útil en cada situación.

Conviene no confundir equivalencia con igualdad de números. (frac{1}{2}) y (frac{2}{4}) son fracciones distintas, con términos distintos, pero valen lo mismo porque cubren la misma porción de la unidad.

Cómo saber si dos fracciones son equivalentes

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes se multiplica en cruz, es decir, el numerador de una por el denominador de la otra. Si los dos productos coinciden, las fracciones son equivalentes.

Con (frac{2}{3}) y (frac{8}{12}), los productos cruzados son (2 times 12 = 24) y (3 times 8 = 24). Como dan el mismo resultado, las dos fracciones representan la misma parte.

[2 times 12 = 24 = 3 times 8]

Otro camino es llevar las dos fracciones a un mismo denominador. Si al hacerlo resulta el mismo numerador, entonces las fracciones eran equivalentes.

La multiplicación en cruz funciona porque compara dos productos iguales. Si esos productos coinciden, las fracciones describen la misma cantidad de la unidad.

La tabla siguiente reúne varias fracciones equivalentes y el número por el que se multiplican sus dos términos.

Todas las fracciones de la tabla valen lo mismo. La última columna se obtiene al multiplicar el numerador y el denominador de la primera por el número de la segunda columna.

Amplificar una fracción: por qué no cambia su valor

Amplificar una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número. La fracción que resulta es equivalente a la original, porque en realidad se multiplica por una fracción que vale uno.

Multiplicar por (frac{2}{2}), por (frac{3}{3}) o por cualquier (frac{n}{n}) no altera el valor. Una fracción con el numerador igual al denominador vale exactamente uno.

El efecto de amplificar es que la fracción queda escrita con números más grandes, pero representa la misma parte. Por eso amplificar sirve para igualar denominadores y para llegar a un denominador concreto.

El número por el que se amplifica se elige según lo que pida el ejercicio. Si se busca que (frac{3}{4}) llegue al denominador 28, el factor es (28 div 4 = 7).

Amplificar también permite leer una fracción con más detalle. Escribir (frac{1}{2}) como (frac{50}{100}) no cambia la cantidad, pero muestra la parte dividida en porciones más finas.

Simplificar una fracción hasta su forma irreducible

Simplificar es el proceso contrario: consiste en dividir el numerador y el denominador por un mismo divisor. La fracción que resulta es equivalente y queda escrita con números más pequeños.

Para simplificar (frac{18}{24}) se busca un número que divida a los dos términos a la vez. El 6 divide a 18 y a 24, así que la fracción se reduce.

[frac{18}{24} = frac{18 div 6}{24 div 6} = frac{3}{4}]

Una fracción se puede simplificar en varios pasos o en uno solo. Si se simplifica con divisores pequeños varias veces, se llega al mismo resultado que al dividir de una vez por el divisor mayor.

Simplificar no cambia la cantidad, solo su escritura. Las fracciones (frac{18}{24}) y (frac{3}{4}) son la misma porción de la unidad.

Conviene recordar que simplificar solo se puede hacer cuando el divisor elegido divide de forma exacta a los dos términos. Si deja residuo, la división no produce números enteros y el procedimiento no es válido.

La fracción irreducible y el máximo común divisor

Una fracción es irreducible cuando su numerador y su denominador no tienen ningún divisor común mayor que 1. En ese punto ya no se puede simplificar más.

Para llegar a la irreducible de una sola vez se divide entre el máximo común divisor. Ese número es el mayor que divide a los dos términos sin dejar residuo.

En (frac{24}{36}), el máximo común divisor es 12. Al dividir los dos términos entre 12 se obtiene (frac{2}{3}), que es irreducible.

La fracción irreducible es la forma más simple de una cantidad. También es la que suele pedirse como respuesta final en los ejercicios.

La tabla siguiente resume las tres operaciones y el resultado que persigue cada una.

Amplificar y simplificar se apoyan en la misma propiedad. Multiplicar o dividir los dos términos por el mismo número no altera el valor de la fracción.

Llevar una fracción a un denominador pedido

A veces el ejercicio pide una fracción equivalente con un denominador fijado de antemano. Para lograrlo se calcula por qué número hay que multiplicar el denominador actual hasta obtener el pedido.

Ese número es el factor de amplificación y se aplica también al numerador. Así, la nueva fracción conserva el mismo valor que la original.

Si se quiere llevar (frac{3}{4}) al denominador 28, primero se divide (28 div 4 = 7). Después se multiplica el numerador por 7 y se obtiene la fracción buscada.

[frac{3}{4} = frac{3 times 7}{4 times 7} = frac{21}{28}]

Si la fracción ya tiene el denominador pedido, no hay nada que hacer. Si el denominador actual no divide de forma exacta al pedido, la fracción original no se puede expresar con ese denominador.

Conviene comprobar el resultado con productos cruzados antes de darlo por bueno. Si (3 times 28) y (4 times 21) dan lo mismo, la amplificación quedó bien hecha.

El factor de amplificación siempre es mayor que 1, porque el denominador pedido es mayor que el actual. Si el denominador pedido fuera menor, el trabajo consistiría en simplificar en vez de amplificar.

Estrategias para el examen y errores frecuentes

• Multiplicar o dividir siempre los dos términos por el mismo número, porque esa es la regla que garantiza la equivalencia.
• Comprobar el resultado con productos cruzados cuando quede duda de si dos fracciones son equivalentes.
• Elegir el máximo común divisor para simplificar de una sola vez y llegar enseguida a la fracción irreducible.
• Al amplificar a un denominador pedido, dividir primero el denominador pedido entre el actual para hallar el factor.
• Revisar si la fracción final es irreducible, es decir, si sus dos términos ya no tienen divisores comunes mayores que 1.
• Sospechar de un resultado con números enormes, porque suele indicar que faltó simplificar.

Conclusión

Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte, y se pasa de una a otra amplificando o simplificando sus dos términos por un mismo número. La fracción irreducible es el final del camino de la simplificación.

Comprobar con productos cruzados y dividir entre el máximo común divisor son las dos herramientas que resuelven casi todos los ejercicios. Con ellas se escribe cualquier fracción con la forma más útil en cada situación.