Alturas y profundidades: sumar y restar enteros entre niveles
Las alturas y profundidades se miden siempre desde un punto fijo llamado nivel de referencia. Los números enteros permiten escribir cuánto se sube o se baja desde ese punto.
Este artículo explica cómo se suman y se restan desplazamientos verticales. Cada resultado es una posición final, y no un saldo ni una temperatura.
La escala vertical y el nivel de referencia
En una escala vertical el cero señala el nivel de referencia. Por encima del cero los números son positivos y por debajo son negativos.
En un edificio, la referencia es la planta baja o la acera de la calle. En el mar, la referencia es la superficie del agua.
En una represa, la marca de referencia fija el nivel que se toma como cero. Cambiar de referencia cambia la escala completa.
Una montaña y una ciudad costera pueden compartir la misma escala si se usa el nivel del mar. Los dos valores se comparan con el mismo cero.
Por eso todo problema de este tipo dice desde dónde se mide. El artículo sobre números enteros en la recta numérica repasa cómo se ordenan esos valores.
Cómo se suma un movimiento hacia arriba y uno hacia abajo
Subir se escribe con signo positivo y bajar, con signo negativo. Al sumar los movimientos queda una sola posición respecto a la referencia.
Si el resultado es positivo, el punto queda por encima de la referencia. Si el resultado es negativo, queda por debajo de ella.
Descender 7 metros equivale a sumar ( -7 ), que también se escribe ( -1 cdot 7 ). Esa es la forma de pasar de un desplazamiento a una suma.
Restar un desplazamiento equivale a sumar el movimiento contrario. Bajar 9 metros se puede escribir ( -9 ) o restar ( 9 ).
El algoritmo general de la adición y la sustracción está en suma y resta de números enteros. Aquí se aplica solo a desplazamientos verticales.
Subir y bajar pisos en un ascensor
El ascensor de un centro comercial estaba en el sótano 3, es decir, en el nivel ( -3 ). Subió 7 pisos y luego bajó 2 pisos.
En esta escala la planta baja es el nivel 0, los pisos llevan números positivos y los sótanos, negativos. La cuenta final es la siguiente:
[ -3 + 7 – 2 = 2 ]
La misma suma escrita en línea es ( -3 + 7 – 2 = 2 ). El piso final aparece al terminar la cadena.
El ascensor se detiene en el piso 2. Cada movimiento queda sumado en la tabla siguiente.
| Movimiento | Suma de niveles | Nivel alcanzado |
|---|---|---|
| Parte del sótano 3 | ( -3 ) | Nivel -3 |
| Sube 7 pisos | ( -3 + 7 ) | Nivel 4 |
| Baja 2 pisos | ( 4 – 2 ) | Nivel 2 |
Otro ascensor parte del sótano ( -2 ), sube 8 pisos y desciende 3 pisos. La cuenta ( -2 + 8 – 3 = 3 ) lo deja en el piso 3.
Al nivel 0 se le llama planta baja y no lleva número de piso. Los pisos se cuentan hacia arriba con signo positivo y los sótanos hacia abajo, con signo negativo.
Los dos casos usan la misma idea: cada movimiento cambia el nivel anterior. El nivel de partida es el primer número de la suma.
Descender: profundidades bajo el mar
Un buzo se encuentra sumergido a ( -18 text{ m } ) respecto al nivel del mar. Desciende 7 metros más hasta su profundidad de trabajo.
[ -18 – 7 = -25 ]
La profundidad final es ( -25 text{ m } ), o sea, 25 metros bajo la superficie. El signo negativo avisa que la posición quedó por debajo de la referencia.
Cada descenso resta metros y aleja al buzo de la superficie. La profundidad crece aunque el número se haga más pequeño.
En el mar la escala también sirve para las alturas: una isla se escribe con un número positivo. El nivel del mar es el cero compartido.
Las unidades de longitud se repasan en unidades de longitud, porque las profundidades se miden en metros.
El nivel del agua de una represa
El agua de una represa hidroeléctrica estaba a ( -8 text{ m } ) respecto a la marca de referencia. Por lluvias subió 14 metros y después, por turbinado, bajó 9 metros.
[ -8 + 14 – 9 = -3 ]
El nivel final queda en ( -3 text{ m } ). Sigue por debajo de la marca, pero más cerca de ella que al comienzo.
Subir el agua acerca el nivel a cero y bajarlo lo aleja hacia los negativos. Cada movimiento cambia la posición sin mover la marca.
La marca de referencia no cambia con el tiempo: es el cero del problema. La medición de magnitudes explica por qué toda medida necesita una referencia.
Encadenar varios movimientos y leer la posición final
Un montacargas de una mina subterránea parte del nivel ( -45 text{ m } ). Después sube 18 metros, baja 32 metros, sube 50 metros y baja 15 metros.
[ -45 + 18 – 32 + 50 – 15 = -24 ]
La posición final es ( -24 text{ m } ) respecto a la superficie. Sumar los desplazamientos de uno en uno evita perder un cambio de signo.
| Movimiento | Suma desde el nivel anterior | Posición alcanzada |
|---|---|---|
| Nivel de partida | ( -45 ) | ( -45 text{ m } ) |
| Sube 18 metros | ( -45 + 18 ) | ( -27 text{ m } ) |
| Baja 32 metros | ( -27 – 32 ) | ( -59 text{ m } ) |
| Sube 50 metros | ( -59 + 50 ) | ( -9 text{ m } ) |
| Baja 15 metros | ( -9 – 15 ) | ( -24 text{ m } ) |
El orden de los sumandos no cambia la posición final. Aun así conviene seguir el orden de la lectura para revisar cada paso.
La tabla deja ver que la posición baja hasta ( -59 text{ m } ) antes de recuperar altura. Al final el montacargas queda 24 metros bajo la superficie.
Ejemplos de alturas y profundidades resueltos paso a paso
Los dos ejemplos siguientes encadenan movimientos y terminan en una posición. En cada uno se revisa la escala y se comprueba el resultado.
Ejemplo 1: el ascensor de un centro comercial
Situación: El ascensor se encontraba en el sótano 3, que corresponde al nivel ( -3 ). Subió 7 pisos y después bajó 2 pisos.
Paso 1. Se escribe el punto de partida como ( -3 ), porque el sótano 3 queda bajo la planta baja.
Paso 2. Subir 7 pisos suma ( +7 ) al nivel de partida y el ascensor llega al piso 4.
Paso 3. Bajar 2 pisos suma ( -2 ) sobre el nivel anterior, que era 4.
Desarrollo completo:
[ -3 + 7 – 2 = 2 ]
Resultado: el ascensor se detiene en el piso 2.
Comprobación: desde el piso 2 se baja 7 y se sube 2. La cuenta ( 2 – 7 + 2 = -3 ) confirma el nivel de partida.
Ejemplo 2: el nivel de una represa hidroeléctrica
Situación: El agua estaba a ( -8 text{ m } ) respecto a la marca de referencia. Por lluvias subió 14 metros y por turbinado bajó 9 metros.
Paso 1. El nivel de partida es ( -8 text{ m } ), es decir, 8 metros bajo la marca.
Paso 2. La lluvia suma ( +14 ) y deja el agua en ( 6 text{ m } ) sobre la marca.
Paso 3. El turbinado resta ( 9 ) metros a esa posición intermedia.
Desarrollo completo:
[ -8 + 14 – 9 = -3 ]
Resultado: el nivel final del agua queda en ( -3 text{ m } ) respecto a la marca de referencia.
Comprobación: el recorrido inverso va de ( -3 ) a ( -8 ), porque ( -3 – 14 + 9 = -8 ).
Estrategias para el examen y errores frecuentes
- Dibujar una escala vertical corta con el cero en el medio antes de calcular.
- Escribir el nivel de partida como el primer término de la suma, con su signo.
- Convertir cada bajada en una resta y cada subida en una suma, sin invertir el orden.
- No confundir el resultado con una distancia: la posición lleva signo y la distancia no.
- Revisar el signo del resultado final: negativo significa debajo de la referencia.
- Comprobar el resultado haciendo el recorrido al revés desde la posición hallada.
Conclusión
Las alturas y profundidades se resuelven sumando desplazamientos sobre una escala vertical. El cero de esa escala es siempre el nivel de referencia.
Subir suma números positivos y bajar suma números negativos. Al encadenar varios movimientos queda una única posición final respecto a la referencia.
El signo del resultado indica el lado de la referencia donde quedó el objeto. Comprobar con el recorrido inverso confirma que la posición es correcta.
Referencias Bibliográficas
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- Secretaría de Educación Pública de México. (2024). Programa Sintético de la Fase 6: Educación Secundaria. https://educacionbasica.sep.gob.mx/wp-content/uploads/2024/06/Programa_Sintetico_Fase_6.pdf
- Weisstein, E. W. (s. f.). Integer. MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Integer.html
Sigue estudiando: Números Racionales: Qué Son y Cómo Se Ubican en la Recta y Problemas con Números y Operaciones: Cómo Elegir la Operación Correcta. En la misma serie: Cuentas y balances: problemas de enteros en los seis países, Goles y puntajes: sumar y restar enteros en registros y tablas y Jerarquía y ecuaciones: operaciones combinadas con enteros.
