Determinantes de matrices: cómo se calculan y qué significan
El determinante es un número real que se asocia a una matriz cuadrada y que resume información importante sobre ella.
Esta lección explica cómo se calculan los determinantes de orden dos y de orden tres, qué propiedades cumplen y qué significan su área y su volumen.
Qué es el determinante y cómo se escribe
El determinante se define únicamente para matrices cuadradas, es decir, para aquellas con el mismo número de filas y de columnas.
Su notación habitual es \(\det(A)\) o \(|A|\), y las dos formas designan el mismo número.
- Cálculo de áreas y volúmenes: es una de sus aplicaciones principales.
- Solución única de un sistema: permite saber si un sistema de ecuaciones lineales tiene una solución única.
- Orden dos: los elementos se ordenan en dos filas y dos columnas, y suelen escribirse como \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\).
Cómo se calculan los determinantes 2×2 y 3×3
- Determinante 2×2: es el producto de una diagonal menos el producto de la otra, es decir, \(a \cdot d – b \cdot c\) con \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) repartidos en las dos filas.
- Diagonal principal y antidiagonal: el primer producto recorre la diagonal principal y el segundo recorre la antidiagonal.
- Determinante 3×3 por cofactores: el cálculo directo es más largo, así que conviene organizarlo por cofactores.
- Menor y cofactor: el menor de una entrada es el determinante que queda al borrar su fila y su columna, y el cofactor es ese menor acompañado de un signo.
- Signo del cofactor: lo fija la posición de la entrada, según la potencia de \(-1\) elevada a la suma del número de fila y el número de columna.
- Expansión: el determinante se obtiene multiplicando cada entrada de una fila o de una columna elegida por su cofactor y sumando los productos.
- Regla de Sarrus: existe además un camino corto para el 3×3, que amplía la matriz con sus dos primeras columnas y combina las diagonales.
En el ejemplo 1 se comprueba que los dos caminos conducen al mismo número.
| Expresión | Cómo se calcula | Qué se obtiene |
|---|---|---|
| Determinante 2×2 | El producto \(a \cdot d\) menos el producto \(b \cdot c\) | Un único número real |
| Determinante 3×3 por cofactores | Cada entrada multiplicada por su cofactor, y la suma | El mismo número, fila por fila |
| Determinante 3×3 por diagonales | Tres productos de diagonales menos los tres opuestos | El mismo número por el camino corto |
Propiedades del determinante
- Fila o columna de ceros: una fila o una columna de ceros hace que el determinante valga cero.
- Intercambio de dos filas: el valor absoluto del determinante no cambia, pero el signo se invierte.
- Fila multiplicada por un número: al multiplicar una fila entera por un número \(k\), el determinante queda multiplicado por \(k\).
- Transpuesta: el determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta.
- Qué es transponer: consiste en convertir las filas en columnas, y esa operación deja el determinante con el mismo valor.
| Propiedad | Qué dice | Comprobación con números |
|---|---|---|
| Fila o columna de ceros | El determinante vale cero | Una fila \((0, 0, 0)\) lleva el determinante a \(0\) |
| Intercambio de dos filas | El determinante cambia de signo | El valor \(81\) se convierte en \(-81\) |
| Una fila multiplicada por \(k\) | El determinante queda multiplicado por \(k\) | Con \(k = 5\), el \(81\) pasa a \(405\) |
| Transpuesta | El determinante no cambia | La matriz y su transpuesta dan \(81\) |
Significado geométrico: área, volumen y matrices singulares
El valor absoluto del determinante de una matriz 2×2 es el área del paralelogramo que forman sus dos columnas.
El signo del determinante indica la orientación de ese paralelogramo, y por eso el área usa el valor absoluto.
El mismo razonamiento se extiende a tres dimensiones, donde el valor absoluto del determinante 3×3 es el volumen del paralelepípedo que forman las tres columnas.
- Matriz singular: cuando el determinante vale cero, la matriz no tiene inversa.
- Dependencia lineal: en ese caso sus columnas son linealmente dependientes, porque la independencia lineal de las columnas equivale a un determinante distinto de cero.
- Sistema sin solución única: un sistema de ecuaciones cuya matriz de coeficientes tiene determinante cero no tiene una solución única.
- Caso concreto de singularidad: la matriz 2×2 formada por las columnas \((2, 1)\) y \((4, 2)\) tiene determinante \(2 \cdot 2 – 4 \cdot 1\), que vale cero.
Ejemplo 1: determinante 3×3 por cofactores, paso a paso
Situación: se quiere hallar el determinante de la matriz \(A\), cuyas filas son \((3, 1, -2)\), \((0, 4, 1)\) y \((2, -1, 5)\).
Paso 1. Se elige la primera fila para la expansión, porque esa fila contiene un cero que simplifica el trabajo.
Paso 2. El primer elemento, \(3\), lleva signo positivo, y su menor es el determinante de \((4, 1)\) y \((-1, 5)\), que vale \(4 \cdot 5 – 1 \cdot (-1) = 21\).
Paso 3. El cofactor del primer elemento es \(21\), y su aporte al total es \(3 \cdot 21 = 63\).
Paso 4. El segundo elemento, \(1\), lleva signo negativo, y su menor es el determinante de \((0, 1)\) y \((2, 5)\), que vale \(0 \cdot 5 – 1 \cdot 2 = -2\).
Paso 5. El aporte del segundo elemento es \(1 \cdot 2 = 2\), porque el signo negativo del cofactor invierte el signo del menor.
Paso 6. El tercer elemento, \(-2\), lleva signo positivo, y su menor es el determinante de \((0, 4)\) y \((2, -1)\), que vale \(0 \cdot (-1) – 4 \cdot 2 = -8\).
Paso 7. El aporte del tercer elemento es \((-2) \cdot (-8) = 16\).
Paso 8. Se suman los tres aportes: \(63 + 2 + 16 = 81\).
Desarrollo completo:
\[\begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 5 \end{pmatrix} = 3(4 \cdot 5 – 1 \cdot (-1)) – 1(0 \cdot 5 – 1 \cdot 2) + (-2)(0 \cdot (-1) – 4 \cdot 2)\]
\[= 3(21) – 1(-2) + (-2)(-8) = 63 + 2 + 16 = 81\]
Resultado: el determinante de \(A\) es \(81\), y el procedimiento de diagonales conduce al mismo valor.
Ejemplo 2: determinante 2×2 y el área que representa
Situación: se quiere calcular el determinante de la matriz \(B\) y el área del paralelogramo que forman sus columnas.
Paso 1. La matriz \(B\) tiene las filas \((4, 1)\) y \((0, 3)\), así que sus columnas son los vectores \((4, 0)\) y \((1, 3)\).
Paso 2. El determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la antidiagonal: \(4 \cdot 3 – 1 \cdot 0 = 12\).
Paso 3. El valor absoluto del determinante es \(12\), y ese número es el área del paralelogramo que forman las columnas.
Paso 4. El resultado se comprueba por geometría: la base mide \(4\) unidades y la altura mide \(3\), así que el área es \(4 \cdot 3 = 12\).
Desarrollo completo:
\[\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 4 \cdot 3 – 1 \cdot 0 = 12\]
\[A = 4 \cdot 3 = 12\]
Resultado: el determinante de \(B\) es \(12\) y el paralelogramo que forman sus columnas tiene un área de \(12\) unidades cuadradas.
Estrategias para el examen y errores frecuentes
- Identificar el orden de la matriz antes de elegir el método de cálculo.
- Multiplicar los elementos de cada diagonal en lugar de sumarlos.
- Respetar el signo de cada cofactor según su posición en la cuadrícula.
- Usar el valor absoluto cuando el enunciado pida un área o un volumen.
- Comprobar si el resultado es cero, porque un determinante cero señala una matriz singular.
- Recordar que solo las matrices cuadradas tienen determinante.
Conclusión
El determinante es un número real que se calcula solo cuando la matriz tiene el mismo número de filas y de columnas.
En el caso 2×2 se restan los productos de las dos diagonales, y en el 3×3 se aplica la expansión por cofactores o el procedimiento de diagonales.
Sus propiedades permiten predecir el efecto de cambiar filas de lugar, multiplicarlas por un número o transponer la matriz.
El valor absoluto mide el área o el volumen que forman las columnas, y un determinante igual a cero señala una matriz singular.
Referencias Bibliográficas
- Abramson, J. (2021). College algebra 2e (7.8 Solving systems with Cramer’s rule). OpenStax. https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/7-8-solving-systems-with-cramers-rule
- MIT OpenCourseWare. (2010). Session 5: Area and determinants in 2D [Curso 18.02SC Multivariable Calculus]. https://ocw.mit.edu/courses/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/pages/1.-vectors-and-matrices/part-a-vectors-determinants-and-planes/session-5-area-and-determinants-in-2d/
- MIT OpenCourseWare. (2010). Session 6: Volumes and determinants in space [Curso 18.02SC Multivariable Calculus]. https://ocw.mit.edu/courses/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/pages/1.-vectors-and-matrices/part-a-vectors-determinants-and-planes/session-6-volumes-and-determinants-in-space/
- Weisstein, E. W. (s. f.). Determinant. MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Determinant.html
- Weisstein, E. W. (s. f.). Invertible matrix theorem. MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/InvertibleMatrixTheorem.html
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