Concepto de Límite de una Función: Qué Es y Cómo Se Lee en una Gráfica
El límite de una función describe el valor al que se acerca la curva cuando la variable se aproxima a un punto concreto.
Este artículo explica qué es un límite, cómo se lee en una gráfica y en qué se diferencia del valor de la función en ese punto, con dos ejemplos resueltos paso a paso.
Qué es el límite de una función
El límite de una función en un punto \(a\) es el número real \(L\) al que se acercan los valores de la función cuando los valores de \(x\) se aproximan a \(a\), si ese número \(L\) existe.
La notación es \(\lim_{x \to a} f(x) = L\), que se lee «el límite cuando \(x\) tiende a \(a\) de \(f(x)\) es \(L\)».
- Existencia sin estar definida: la función no necesita estar definida en el punto \(a\) para que el límite exista.
- Límite y valor de la función: el límite en un punto y el valor de la función en ese punto pueden ser distintos, y la función puede incluso no tener valor en \(a\).
- Límites básicos: \(\lim_{x \to a} x = a\) y \(\lim_{x \to a} c = c\), donde \(c\) es una constante.
Cómo se lee un límite en una gráfica
- Seguir los dos lados: se recorre la curva desde la izquierda y desde la derecha, acercándose al punto sin necesidad de llegar a él.
- Altura del límite: es la altura \(L\) hacia la que apunta la curva sobre el eje \(y\).
- Hueco (círculo abierto): indica que la función no está definida en ese valor de \(x\), aunque el límite puede existir igual.
- Alturas distintas: si los dos lados apuntan a alturas distintas, la gráfica no representa un límite único.
| Qué observar en la gráfica | Qué significa | Qué se concluye |
|---|---|---|
| Un hueco (círculo abierto) en el punto | La función no está definida en ese valor de \(x\) | El límite puede existir aunque no haya valor de la función |
| Los dos lados de la curva apuntan a la misma altura | Los límites laterales coinciden | El límite existe y vale esa altura \(L\) |
| La curva salta a alturas distintas en cada lado | Los límites laterales no coinciden | El límite en ese punto no existe |
| La curva oscila sin estabilizarse | Los valores no se acercan a un único número | El límite no existe |
Límites laterales: por la izquierda y por la derecha
- Límite lateral por la izquierda: se escribe \(\lim_{x \to a^{-}} f(x)\) y describe el valor al que se acerca la función cuando \(x\) toma valores menores que \(a\).
- Límite lateral por la derecha: se escribe \(\lim_{x \to a^{+}} f(x)\) y usa valores de \(x\) mayores que \(a\).
- Existencia del límite: el límite de la función en \(a\) existe cuando los dos límites laterales existen y son iguales.
- Límites laterales distintos: cuando los límites laterales no coinciden, el límite en ese punto no existe.
| Notación | Cómo se lee | Qué indica |
|---|---|---|
| \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) | El límite cuando \(x\) tiende a \(a\) de \(f(x)\) es \(L\) | La función se acerca a \(L\) por los dos lados |
| \(\lim_{x \to a^{-}} f(x) = L\) | El límite cuando \(x\) tiende a \(a\) por la izquierda es \(L\) | Se usan valores de \(x\) menores que \(a\) |
| \(\lim_{x \to a^{+}} f(x) = L\) | El límite cuando \(x\) tiende a \(a\) por la derecha es \(L\) | Se usan valores de \(x\) mayores que \(a\) |
| \(\lim_{x \to a} f(x)\) no existe | El límite cuando \(x\) tiende a \(a\) no existe | Los valores no se acercan a un único número real |
Ejemplo 1: leer un límite en un hueco, paso a paso
Situación: se quiere leer el límite de \(f(x) = \dfrac{x^{2} – 1}{x – 1}\) cuando \(x\) tiende a 1, y en \(x = 1\) la función no está definida porque el denominador se anula.
Paso 1. Se identifica el punto de interés, que es \(x = 1\), donde aparece el hueco en la gráfica.
Paso 2. Se construye una tabla con valores de \(x\) cercanos a 1 por los dos lados.
Paso 3. Se calculan los valores: con \(x = 0{,}9\) se obtiene \(1{,}9\); con \(0{,}99\) se obtiene \(1{,}99\); con \(0{,}999\) se obtiene \(1{,}999\); con \(1{,}001\) se obtiene \(2{,}001\); con \(1{,}01\) se obtiene \(2{,}01\); y con \(1{,}1\) se obtiene \(2{,}1\).
Paso 4. Se lee la tendencia: por la izquierda y por la derecha los valores se acercan a \(2\).
Desarrollo completo:
\[1{,}9 \to 1{,}99 \to 1{,}999 \to 2 \leftarrow 2{,}001 \leftarrow 2{,}01 \leftarrow 2{,}1\]
\[\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} – 1}{x – 1} = 2\]
Resultado: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} – 1}{x – 1} = 2\), aunque \(f(1)\) no tiene valor.
Ejemplo 2: comparar los límites laterales en un salto, paso a paso
Situación: la gráfica de una función sigue la recta \(y = x + 1\) a la derecha de 0 y la recta \(y = -x\) a la izquierda de 0.
Paso 1. Se mira el lado derecho: cuando \(x\) se acerca a 0 con valores mayores que 0, la recta \(y = x + 1\) se aproxima a 1.
Paso 2. Se mira el lado izquierdo: cuando \(x\) se acerca a 0 con valores menores que 0, la recta \(y = -x\) se aproxima a 0.
Paso 3. Se comparan los dos resultados y se observa que 1 y 0 no son iguales.
Desarrollo completo:
\[\lim_{x \to 0^{+}} (x + 1) = 1 \qquad \lim_{x \to 0^{-}} (-x) = 0\]
\[1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to 0} f(x) \text{ no existe}\]
Resultado: el límite lateral por la derecha es 1, el lateral por la izquierda es 0, y por eso el límite en \(x = 0\) no existe.
Estrategias para el examen y errores frecuentes
- Conviene leer la gráfica por los dos lados del punto antes de decidir el valor del límite.
- No confundir el límite con el valor de la función: en un hueco el límite puede existir y el valor no.
- Comprobar los límites laterales cuando la gráfica presenta un salto.
- Recordar que si los límites laterales no coinciden, el límite en ese punto no existe.
- Escribir la flecha \(x \to a\) y, en los límites laterales, el signo del lado (\(^{-}\) o \(^{+}\)).
- No decidir el valor de un límite mirando un punto aislado de la tabla; hay que observar la tendencia.
Conclusión
El límite de una función es el número real al que se acercan sus valores cuando la variable se aproxima a un punto.
En una gráfica se lee siguiendo la curva por los dos lados y observando la altura a la que apunta.
El límite existe cuando los dos límites laterales coinciden, y no existe cuando se separan o la curva oscila.
Distinguir el límite del valor de la función evita un error frecuente de este tema.
Referencias Bibliográficas
- MIT OpenCourseWare. (2010). Session 4: Limits and continuity. Clip 1: Limits [Notas de clase]. 18.01SC Single Variable Calculus. https://ocw.mit.edu/courses/18-01sc-single-variable-calculus-fall-2010/7055d8a331cd9aef85193146a52943b2_MIT18_01SCF10_Ses4a.pdf
- Strang, G., & Herman, E. (2016). Calculus Volume 1 (2.2 The limit of a function). OpenStax. https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-2-the-limit-of-a-function
- Weisstein, E. W. (s. f.). Limit. MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Limit.html
Sigue estudiando: Cómo determinar el dominio y el ámbito de una función en una gráfica y Conjuntos numéricos e intervalos reales.
